8 obserwujących
32 notki
19k odsłon
  66   0

Metody matematyczne w fizyce - Rachunek wektorowy i tensorowy, cz. II

Nauka, rachunek tensorowy, analiza tensorów, przestrzeń Riemanna,

W części I przedstawiono ogólne pojęcie wektora i tensora i o ile z wektorem zazwyczaj problemu nie ma, to tensor stanowi wyzwanie. Dla wektora z pomocą przychodzi "wizualizacja" - wektor geometryczny, to zorientowany odcinek tj. kawałek prostej posiadający zwrot kierunek i długość. Z tensorem sprawa się komplikuje, komplikuje się już właściwie sprawa kowektora. 

(ale o tym możne później )

Innymi słowy graficzne reprezentacje obiektów takich jak tensor nie są zbyt dogodne, owszem tensor kartezjański jako np pęk wektorów jeszcze może być poglądowy, ale generalnie zapominamy o obrazie geometrycznym, takiego tworu jak tensor i po prostu wyrabiamy sobie pewien "smak" jak to mówi autor poniższego wstępu:

1.1 Dlaczego tensory nie są definiowane przez to, czym są?
Kiedy jako student po raz pierwszy zetknąłem się z formalną definicją tensora, byłem zaintrygowany, ale też sfrustrowany. Brzmiała ona mniej więcej tak:
"O zbiorze wielkości Trs związanych z punktem P mówimy, że są składowymi tensora drugiego rzędu, jeśli przy zmianie współrzędnych z układu współrzędnych xs na x’s przekształcają się one zgodnie z prawem:
T’rs  = ( &x’r /&xi ) ( &xj /&x’s ) Tij
gdzie pochodne cząstkowe & są obliczane w punkcie P"

Co powiedzieć?
Niezależnie od głębokich powodów, dla których tak to ujęto, definicja ta była bardziej skuteczniejsza w zadawaniu pytań niż w udzielaniu odpowiedzi. Nie definiowała tensora, mówiąc mi czym on jest, ale twierdziła, że definiuje tensory poprzez opisywanie, jak się zmieniają. Jakiego rodzaju definicją ma być definicja, która nie mówi, co się zmienia? Wyglądało to tak, jakby ktoś definiował "pieniądz" poprzez recytowanie kursu wymiany dolara na Deutchmarkę - jakkolwiek technicznie poprawne byłoby to stwierdzenie, nie byłoby to zbyt pouczające dla osoby, która po raz pierwszy w życiu styka się z pojęciem pieniądza.
Co więcej, dlaczego zmiana ta została wyrażona w postaci transformacji współrzędnych?
Jeśli Trs jest składową, to czym jest sam tensor?
Dlaczego niektóre indeksy były zapisywane jako indeksy górne, a inne jako indeksy dolne?
Dlaczego niektóre indeksy się powtarzają?
Co oznacza "rząd" tensora (zwany też przez niektórych autorów "walencją" tensora)?
Taka definicja była najwyraźniej przeznaczona dla czytelników znających już znacznie szerszą matematyczną perspektywę, niż ja wówczas posiadałem. Traktaty, które zaczynają się od takich formalnych definicji, mają na celu rozwinąć logiczną strukturę rachunku tensorowego w sposób rygorystyczny. Takie podejście zasługuje na najwyższy szacunek. Jest to jednak smak, który można sobie dopiero wyrobić.
Pomimo swoich zalet, nie będzie to podejście przyjęte w przedstawionej książce.
Nie będę używał zwrotów takich jak "każdej podprzestrzeni Vr w En odpowiada jednoznaczna komplementarna podprzestrzeń Wn-r ". Raczej, najpierw spotkamy się z kilkoma specyficznymi tensorami, które pojawiają się
w zastosowaniach fizycznych, włączając w to mechanikę klasyczną i elektrodynamikę. Takie przykłady mam nadzieję, że dostarczą kontekstu, w którym motywacje stojące za formalną definicją staną się oczywiste.

W międzyczasie jednak zostaliśmy poinformowani, że transformacje współrzędnych są ewidentnie istotną częścią tego, co to znaczy być tensorem. Czym są współrzędne? Są to odwzorowania wprowadzone przez nas w celu rozwiązania konkretnego problemu. Czym są przekształcenia współrzędnych? Jeśli ja używam jednego układu współrzędnych, a ty używasz innego do opisu np. miasta Paryża (lub atomu wodoru), to transformacja taka dostarcza „słownika” do konwersji adresu Luwru (lub elektronu) z mojego układu współrzędnych na Twój.
Ten elementarny fakt sugeruje, że przytoczona powyżej definicja tensora tworzy „teorię względności”, ponieważ każda teoria względności opisuje, w jaki sposób wielkości i relacje wpływają na wielkości i relacje pod wpływem zmiany układu odniesienia.

Układ współrzędnych jest wybierany jako kwestia gustu i wygody - mapa, którą tworzymy, aby rozwiązanie problemu było tak proste, jak to tylko możliwe. Mapy to narzędzia, które pomagają nam zrozumieć rzeczywistość; nie są one rzeczywistością samą w sobie. Tak jak fizyczna geografia Ziemi nie zależy od tego, czy twórca mapy umieścił północ na górze czy na dole mapy, podobnie zasady i wnioski fizyki muszą wykraczać poza wybór współrzędnych.
Pogodzenie tych konkurujących ze sobą wartości - wyboru współrzędnych dla wygody obliczeń i bycie nie zależnym od tego wyboru - leży u podstaw badań nad tensorami.
Każda teoria względności zbudowana jest na fundamencie tego, co pozostaje niezmienne przy zmianie układu odniesienia.
Wielkości, które pozostają niezmienne, nazywamy "inwariantami" lub "skalarami". Na przykład, odległość
między dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej nie zależy od tego, jak zorientujemy osie współrzędnych:
długość jest niezmiennicza, jest skalarem. Stwierdzenie, że liczba λ jest skalarem oznacza, że gdy przekształcamy ją z jednego układu współrzędnych na inny, np. ze współrzędnych (x, y, z) do (x′, y′, z′),  λ pozostaje niezmiennicza w wyniku działania jakiegoś przekształcenia:
                                                                                    λ’ = λ
To stwierdzenie formalnie definiuje, co to znaczy, że dana wielkość jest skalarem.
Zauważmy, że ta formalna definicja skalarów opisuje, jak przekształcają się one (w szczególności, skalary pozostają takie same) pod wpływem zmiany układu odniesienia. Sugestywnie, przypomina to stwierdzenie napotkane powyżej w formalnej definicji tensora. Chociaż definicje operacyjne nakazują jak można mierzyć masę i temperaturę ciała, identyfikacja masy i temperatury jako skalarów nie ma żadnego znaczenia, dopóki zmiana układu współrzędnych nie stanie się problemem.
W przeciwieństwie do skalarów, wektory są wprowadzane w elementarnym wykładzie jako "strzałki", które niosą informacje o amplitudzie i skierowaniu.
Ta informacja jest niezależna od jakiegokolwiek układu współrzędnych.
Ale kiedy wprowadzany jest układ współrzędnych, wektor może być podzielony na zbiór liczb „składowych", których odrębne wartości liczbowe zależą od orientacji i skalowania osi współrzędnych.
Ponieważ układy współrzędnych mogą być zmieniane, równania, które zawierają składowe wektora
muszą być koniecznie zbadane w świetle ich zachowania pod wpływem przekształceniami współrzędnych.
Wektory stanowią istotny etap pośredni pomiędzy skalarami a tensorami, które należą do formalnej definicji wprowadzonej powyżej.

Niektóre książki rozpoczynają analizę tensorową od rozróżnienia pomiędzy wektorami i czymś nazywanymi ich "dualami" lub "jednoformami" (z rozszerzeniami na "dwuformy" i tak dalej).
Czuję się jak ktoś, kto wkracza bezwiednie w środek rozmowy, dochodzimy do wniosku, że wektory dualne są związane z wektorami, ale niekoniecznie są identyczne z wektorami - chociaż czasami są!
Fakt ten rodzi wyzwania dla zdobycia motywacji. Po otrzymaniu informacji, że jednoforma jest sposobem na „pocięcie” przestrzeni, nowicjusz zastanawia się:
Dlaczego ktoś miałby chcieć rozważać coś takiego?
Dlaczego jest to konieczne? Co tracę?
Problem ten jest szczególnie dotkliwy, jeśli czytelnik interesuje się rachunkiem tensorowym poprzez samodzielną naukę, bez dostępu do mentorów, którzy są już ekspertami, którzy mogliby wypełnić luki, które pozostają niewyjaśnione w podręcznikowych prezentacjach.
Spójrzmy wstecz na to, jak wektory są omawiane we wprowadzeniu do fizyki. Najpierw zrobimy to bez współrzędnych, a następnie wprowadzimy współrzędne jako kolejny krok. Następnie możemy spojrzeć do przodu na docenienie skalarów i wektorów jako szczególnych przypadków tensorów.

Z książki:
Tensor Calculus for Physics A Concise Guide Dwight E. Neuenschwander, 2015  Johns Hopkins University Press


Najlepiej wyjść od tego, że ogólnie tensor, to obiekt (natury algebraicznej w pierwszym podejściu ) o ściśle określonych prawach transformacyjnych, a w przypadkach szczególnych np. tensora deformacji lub tensora pola EM, lub podobnych mamy konkretne "wyobrażenie" o naturze fizycznej takiego obiektu, a dla tensorów wyższych rządów, to już pełna abstrakcja matematyczna. Tensor z tego tj. algebraicznego punktu widzenia jest elementem przestrzeni wektorowej (liniowej - a raczej wieloliniowej ) oczywiście wraz z określonymi dla niego operacjami. Na tym gruncie definiuje się różnorodne struktury np. 

podprzestrzeń tensorów antysymetrycznych i odpowiednie operacje np. iloczyn zewnętrzny tensorów.

A. I. Kostrikin, J. I. Manin Algebra liniowa i geometria WN-PWN 1993, od str. 263  


Tensory  mają i drugie "oblicze" (sensu stricte geometryczne ), w postaci pól tensorowych (w szczególności pól wektorowych ) zadawanych na rozmaitości (samo pojęcie wektora ma kilka równoważnych sformułowań, a zorientowanie się iż dx oraz &/&x, to kowektor i wektor stanowi nie lada wyzwanie ), szczególnie ważnym jest pole symetrycznego nieosobliwego tensora drugiego rzędu - tensora metrycznego.To prowadzi nas ku pojęciu przestrzeni Riemanna.

Więcej szczegółów (i literatura ) w notatce roboczej:

www.fizyka-teoretyczna.pl/matematyka/Wprowadzenie_do_rachunku_tensorowego.pdf

Lubię to! Skomentuj Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Komentarze

Inne tematy w dziale