O liczbach zespolonych, operatach i jeździe pod prąd

Pod notką Coryllusa o wspaniałym człowieku, jakim był Nikola Tesla, wywiązała się mała dyskusja nt. rachunku zespolonego. Pobudziło mnie to do przypomnienia sobie pewnych dawniejszych moich dociekań nad podstawami matematyki i w ogóle "istotą rzeczy". Przypomniała mi się również wspaniała anegdota o pewnym profesorze. Spróbuje jakoś ten nastrój oddać.

Próbując nie-ścisłowcowi wyjaśnić, czym jest rachunek zespolony, a szczególnie jego część urojona (ów tajemniczy "nierzeczywisty" skadnik, czyli pierwiastek z minus jeden), proponuję zacząć od... potęg. Myśliciel Ludwig Wittgenstein poświęcił temu poważnemu zagadnieniu (istocie rachunku, podstawom matematyki, teorii operacji i znaku - w tym potęgowaniu) wiele dni swojego życia, zostawiając po sobie sporo rozproszonych zapisków dotyczących samych podstaw matematyki, przysłowiowego "czym jest dwa a dwa?" , "dlaczego dwa a dwa jest cztery" i "skąd wiemy, że dwa a dwa jest cztery?". Potęgowaniu poświęcił wiele wspaniałych, rzekłbym porywających uwag (porywających dla koneserów oczywiście) - bowiem właśnie potęga daje szybki wgląd w pewne trudne zagadnienie.

Łatwo powiedzieć, i każdemu mogło to kiedyś strzelić do łba, że zapis w postaci 17*17*17*17*17*17*17*17*17*17*17*17 jest w istocietym samym, co zapis w postaci 17¹². Konkludujemy więc dziecinnie, że potęga w jakimś sensie niczego nie wnosi i jest rodzajem mnożenia. Wątpliwa to jednak ocena! Na czym jednak ma polegać różnica pomiędzy tymi operacjami, ta istotna? Tu Wittgenstein zaleca po prostu przyjrzeć się obu zapisom. Jest różnica? Prawda, że jest? Wittgenstein zwraca uwagę na przejrzystość zapisu, na jego natychmiastowe ogarnięcie wzrokiem i umysłem (pisze o tym dużo w kontekście dowodu matematycznego). To daje potęgowanie, w przeciwieństwie do zwykłego mnożenia liczby przez siebie, wymagającego żmudnego przeliczania wszystkich „siedemnastek”. A co będzie, gdy będziemy podnosić coś do potęgi 103 lub 104? Będziemy przeliczać?

Krótko mówiąc potęgowanie otwiera nam pewne drzwi; używając potęgowania zapędzamy się w rachunki i wyliczenia, które bez potęg byłyby niezwykle zagmatwane. Liczymy i myślimy wydajniej. Dotyczy to zarówno naszego umysłu, jak i móżdżku elektronowego, który prawie każdy ma na biurku. Niby tylko pomysł na prostszy zapis, a jakie zaskakujące efekty, prawda?

Podobnie jest z liczbami urojonymi (rachunkiem zespolonym). Tak jak nie przejmujemy się, czy potęgi występują w naturze, tak nie martwimy się, będąc inżynierami, „urojonym” charakterem przysługującym rachunkowi zespolonemu. Liczby zespolone występują, mówiąc po chłopsku, gdzieś tak „po środku” wyliczeń, których ostateczny rezultat jest zawsze jak najbardziej „rzeczywisty”. Co zyskujemy? Obliczenie zajmujące dwie kartki w rachunku rzeczywistym, w rachunku zespolonym zajmie nam pół stroniczki. To jest właśnie ta analogia z potęgami. Na dodatek to, co na tym rachunku oprzemy, będzie działało wydajniej (sprawniej). Po wprowadzeniu tzw. operat rachunek kurczy nam się jeszcze bardziej, do jednej linijki, względnie kilku (chodzi oczywiście o obrazowe przedstawienie zagadnienia, ilość „linijek” traktuję anegdotycznie). Zaprojektowane w ten sposób układy są sprawniejsze, np. o 3% - i jest to, w przypadku np. elektrowni, różnica kolosalna.

Cała ta notka zmierzała do pewnej anegdoty o profesorze od energetyki, u którego kolega wędkarz (wędkarze to zwykle ścisłowcy i inżynierowie) pisał chyba magisterkę. Otóż profesor ów zapędził się kiedyś i jechał pod prąd gdzieś w środku Wrocławia. Na tę jazdę pod prąd nałożyły mu się jego dociekania, koncepty i przeczucia związane z projektowaniem układów energetycznych, elektrowni, przesyłu prądu zmiennego itd. I on podczas tej jazdy pod prąd doznał, proszę państwa, oświecenia. Wpadł na jakiś koncept, jakiś myk matematyczny, pozwalający na jakieś istotne usprawnienie w dziedzinie, którą się tak intensywnie zajmował. Z tego wszystkiego zupełnie przestał się przejmować tym, że jedzie pod prąd. Policjanci mieli z nim niezłą zagwozdkę – próbował im uzmysłowić, jak wspaniałą rzecz udało mu się dzięki tej jeździe pod prąd wykoncypować. Przypuszczam, że nieźle zbaranieli.