Przed przeczytaniem tego tekstu proszę zapoznać się z poprzednim z cyklu (o ile ktoś jeszcze tego nie zrobił).
W poprzedniej notce opisałem, w jaki sposób Eratostenes oszacował obwód Ziemi za pomocą obserwacji Słońca w pewien szczególny dzień roku: dzień przesilenia letniego. Jednakże do pomiaru obwodu Ziemi wcale nie musimy używać Słońca – może to być dowolny obiekt astronomiczny, którego promienie padają na naszą planetę praktycznie równolegle. Oczywistym kandydatem do wykorzystania są jasne gwiazdy. Mają one tę zaletę, że w odróżnieniu od Słońca praktycznie nie zmieniają swoich pozycji na sferze niebieskiej, a więc pomiary można przeprowadzać w różne noce. Co więcej, wcale nie jest też konieczne, by gwiazda taka przechodziła przez zenit w którymś z miejsc wykonywania pomiarów. Wyjaśnia to poniższy rysunek:
Na Ziemię padają promienie pewnej gwiazdy (zaznaczone cienkimi liniami). W dwóch różnych punktach A i B, położonych na tym samym południku, mierzymy kąt między lokalnym pionem a kierunkiem na gwiazdę (czyli kierunkiem docierających od niej promieni). Astronomowie nazywają tę wielkość odległością zenitalną gwiazdy. Trzeba to zrobić w momencie, gdy gwiazda znajduje się dokładnie nad południkiem. Wyniki otrzymane przez obu obserwatorów oznaczmy odpowiednio przez φ0 i φ1. Przeprowadźmy jeszcze prostą równoległą do kierunku promieni, która przechodzi przez środek Ziemi. Korzystając z równości kątów odpowiadających (tak się one chyba nazywają?) widzimy od razu, że kąt φ = φ0 - φ1. A zatem, analogicznie jak poprzednio, znając odległość między A i B możemy obliczyć obwód południka. Oczywiście, jeżeli któryś z kątów φ0 lub φ1 jest równy zeru (gwiazda przechodzi przez zenit), mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem Eratostenesa.
Ale jak stwierdzić, że gwiazda znajduje się dokładnie nad południkiem? To dość proste. W momencie, gdy gwiazda przecina południk, jej odległość zenitalna jest najmniejsza. Astronomowie mówią, że gwiazda góruje.
Schemat obserwacji wygląda więc następująco. Wybieramy sobie dwa różne miejsca, A i B, leżące na tym samym południku. (Używając współczesnej terminologii, są to dwa miejsca o tej samej długości geograficznej, ale o różnej szerokości). W punkcie A mierzymy przez pewien czas odległość zenitalną jakiejś gwiazdy. Początkowo odległość ta maleje (gdy wskutek obrotu sfery niebieskiej gwiazda zbliża się do południka), po czym zaczyna rosnąć (gdy gwiazda od południka się oddala). Najmniejsza wartość odległości zenitalnej gwiazdy to wartość, gdy przechodzi ona nad południkiem, czyli jest właśnie tą liczbą, której potrzebujemy – wartością kąta φ0. Ktoś inny przeprowadza takie same pomiary dla tej samej gwiazdy w punkcie B (albo my robimy to jakiejś innej nocy) i otrzymuje wartość kąta φ1. Obliczamy wartość kąta φ jako różnicę φ0 - φ1. Wyrażając ją jako ułamek kąta pełnego i znając odległość między A i B możemy, podobnie jak Eratostenes, wyznaczyć obwód południka ziemskiego.
Czasami zamiast odległości zenitalnej podaje się kątową wysokość h gwiazdy nad horyzontem, czyli kąt między płaszczyzną horyzontu a kierunkiem na gwiazdę. Dla naszych rozważań nie ma to żadnego znaczenia, gdyż odległość zenitalna φ i wysokość h zawsze dają w sumie kąt prosty: φ + h = 90º.
Znając więc wysokość, automatycznie znamy odległość zenitalną – i odwrotnie. W praktyce zwykle łatwiej mierzyć odległość zenitalną, ponieważ kierunek pionu można określić bez trudności, natomiast kształt horyzontu zakłócają nierówności terenu, budynki itp.
Z metody tej skorzystał Posejdonios (ok. 135-ok. 50 p.n.e.). Był to uczony, filozof i polityk, uważany za największego erudytę swoich czasów. Posejdonios za obiekt pomiarów obrał jedną z najjaśniejszych gwiazd naszego nieba – Canopus. Zauważył, że na wyspie Rodos gwiazda ta w momencie górowania ledwo co pojawia się na horyzoncie (h0=0º, czyli odległość zenitalna φ0=90º), ale w położonej bardziej na południe Aleksandrii jej wysokość nad horyzontem wynosi wtedy 8º (h1=8º, czyli φ1=82º). A zatem różnica szerokości geograficznych między Rodos a Aleksandrią to 8º. Wiedząc to, Posejdonios mógł obliczyć obwód południka. Jego wynik był jednak dość niepewny, między innymi dlatego, że punkty prowadzenia obserwacji – Rodos i Aleksandrię – dzieli morze, a pomiar odległości na wodzie mógł być obarczony sporym błędem. Z tego powodu rezultat Posejdoniosa parokrotnie modyfikowano, a to zwiększając go, a to zmniejszając. Ptolemeusz (ok. 100-ok. 168 n.e.) w swym epokowym dziele „Geografia” za obwód południka przyjął najmniejszą z tych wartości – 180 000 stadionów – czyli stanowczo zbyt małą (niezależnie od tego, ile naprawdę wynosił stadion). Ta wartość przetrwała aż do końca Średniowiecza.
* * *
Dziwić może fakt, że przez wiele lat po Ptolemeuszu mało kto ponownie próbował wyznaczyć obwód Ziemi. Myślę, że głównym powodem była trudność w dokładnym określeniu odległości między dwoma wystarczająco dalekimi miejscami, w których należało prowadzić pomiary kątów na sferze niebieskiej. Sam pomiar kątów na niebie jest stosunkowo prosty – już w Starożytności istniały służące do tego celu przyrządy, takie jak kwadrant czy astrolabium; znacznie gorzej było z odległościami, które znano tylko w pewnym przybliżeniu.
W 1. połowie IX wieku władca imperium muzułmańskiego, kalif Al-Mamun (786-833) nakazał zmierzyć odległość od Palmyry do Rakki (dzisiejsza Syria). Te miasta również leżą w przybliżeniu na jednym południku. Pomiarami kierował perski matematyk i astronom al-Khwārizmī (inaczej al-Chorezmi; ok. 780-ok. 850). Był on jednym z największych uczonych świata islamskiego. To właśnie on zaadaptował wymyślony w Indiach dziesiętny system zapisu liczb, który używamy dzisiaj. Od zniekształconej arabskiej nazwy jego dzieła o rozwiązywaniu równań pochodzi nazwa algebra, a od zlatynizowanej wersji jego nazwiska termin algorytm. Trudno ocenić, jaka była dokładność pomiaru obwodu Ziemi, wykonanego przez al-Chorezmiego – na przeszkodzie znowu stoi nieznajomość wartości jednostek miar używanych w średniowiecznym świecie arabskim. Dla cywilizacji łacińskiej i tak było to bez znaczenia, gdyż przez całe Średniowiecze w Europie obowiązywała zaniżona wielkość Ziemi podana przez Ptolemeusza (choć hiszpańscy i portugalscy żeglarze korzystali także z map arabskich).
Fakt ten miał mieć później kolosalne konsekwencje. Krzysztof Kolumb, kiedy rozważał możliwość dotarcia do Indii płynąc przez ocean z Europy na zachód, przyjął rozmiar naszego globu podany przez Ptolemeusza. Jego ocena odległości do Azji była przez to mocno niedoszacowana. Jest praktycznie pewne, że gdyby wiedział, iż faktyczna odległość z Europy do Azji wzdłuż równoleżnika 30º (wzdłuż którego podróżował) wynosi około 20 000 kilometrów, porzuciłby swoje plany, gdyż w jego czasach żaden statek nie był w stanie zabrać zapasów wody i pożywienia na tak długą drogę. Tak więc, gdyby Ptolemeusz się nie pomylił, Kolumb na pewno nie wyruszyłby w podróż. Szczęściem dla niego (i jego marynarzy) na kuli ziemskiej istnieje Ameryka, którą przypadkowo odkrył. Jej obecność uratowała mu życie, a my, dzięki temu odkryciu, możemy dziś cieszyć się z hamburgerów, dżinsów, jazzu, filmów z Marylin Monroe oraz YouTube.
Wyprawy Kolumba i innych żeglarzy z przełomu XV i XVI wieku jasno pokazały, że zakładany wówczas rozmiar Ziemi był niepoprawny. Cywilizacja europejska stanęła u progu epoki wielkich odkryć i podróży dalekomorskich; wyznaczenie precyzyjnej wartości obwodu południka stało się więc kwestią najwyższej wagi.
Ciąg dalszy nastąpi (być może niebawem).
