Teoria opisująca ruch obiektów. Część #3 (Prędkość Lorentza)

Część #1: https://www.salon24.pl/u/model-naturalny/678523,bedzie-sie-dzialo
Cześć #2: https://www.salon24.pl/u/model-naturalny/1186931,mrówka relatywistyczna

(3) Prędkość Lorentza

W poprzednim rozdziale za pomocą dość karkołomnych operacji udało się nam uzgodnić jednakową prędkość v rozsuwania dłoni obserwowanych lewym oraz prawym okiem. Wykorzystajmy nasz sukces do wyliczenia współczynnika Lorentza γ w funkcji tej właśnie prędkości.

Przekształcając końcowe zależności z poprzedniej notki napiszemy:

^(3.1)

^(3.2)

Szukaną zależność otrzymamy mnożąc powyższe równania.

Jeśli uzyskaną postać γ podstawimy następnie do zależności (3.1) i (3.2), otrzymamy wzór, który mówi jak bardzo uda się nam odsunąć dłoń z prędkością v, zanim dogoni ją mrówka.

^(3.3)

Zauważmy, że drugi wzór jest po prostu przekształceniem pierwszego. To zostańmy przy tym pierwszym. Korzystając z założenia stałej prędkości c możemy dalej napisać:

^(3.4)

Wyprowadziliśmy w ten sposób dobrze znane wzory na Transformację Lorentza, które pozwoliły opisać model ruchu z udziałem naszej mrówki. Analogiczny zapis otrzymamy dla sytuacji, gdy dłonie będziemy zbliżać do siebie, zmieni się tylko znak przy prędkości, bo będzie ona wtedy miała przeciwny zwrot.

Czy to nie zaskakujące, że ruch mrówki można opisać tymi samymi zależnościami, co światło? Zauważmy, że wyrażenie we wzorach (3.4) daje wartość urojoną dla v>c. Ale przecież c oznacza tu prędkość mrówki. Czy z tego wynika, że prędkości naszego owada nie da się przekroczyć?

Wytłumaczeniem jest dokonana wcześniej korekta. Pamiętamy (z poprzedniego rozdziału), że dzięki niej udało się wybrnąć z kłopotu modyfikując nieco geometrię obrazka, czyli dzieląc co potrzeba przez współczynnik γ, żeby się zgadzało. Ale to spowodowało, że także prędkość v zdefiniowana wzorami (3.1) i (3.2) została wyliczona na podstawie długości skorygowanych.

Nasuwa się pytanie, czy po tej korekcie to dalej jest prędkość, z jaką rozsuwamy dłonie? Oznaczmy tą skorygowaną wartość symbolem v_L i nazwijmy ją prędkością Lorentza. Zatem właściwą postać wzorów Lorentza zapiszemy w następujący sposób:

(3.5)

(3.6)

Natomiast samą prędkość v_L wyliczymy z zależności (3.3).

Rzeczywiście, tak określona prędkość v_L nigdy nie przekroczy prędkości c, z jaką porusza się nasza mrówka. Ale o ile w przypadku światła łatwiej przyjąć takie ograniczenie, to w odniesieniu do mrówki wiemy, że jest ono nieprawdziwe.

A czy można opisać ruch mrówki bez deformowania rysunku i odwołując się do zwykłej, nieskorygowanej prędkości v? Tak. Tylko musimy odrzucić patyczki i wrócić do rzeczywistego modelu ruchu naszej mrówki z rozciąganą gumką.