8 obserwujących
164 notki
92k odsłony
  284   0

Pochodna wektora momentu pędu, dowód prawdziwości dla przykładu płaskiego.

     Już chyba czwarty miesiąc spisuje dowody dotyczące ruchu obrotowego punktu chcąc potwierdzić matematycznie każdy najmniejszy szczegół tego ruchu. Tworzenie tych dowodów nie jest trudne (to bardzo prosta matematyka) ale bardzo pracochłonne, sama własność iloczynu wektorowego, wektor prędkości kątowej jak i wektor przyspieszenia kątowego zajęło mi 24 strony dowodów i dodatkowo 24 strony diagramów a przydał by się jeszcze jakiś opis do tego.

https://megawrzuta.pl/download/ccef8ba5a1dc3c5fad4629cfbc5c1b26.html

      Obecnie jestem już przy wektorze momentu pędu z wektorem będącym pochodną tego wektora momentu pędu. Nie ma niespodzianek i wszystko się zgadza a przy tworzeniu dowodów jedynie poszerzam swoją wiedzę o tym zjawisku Fizycznym.


      Przypomnę jak wyliczyłem moją pochodną. Wektor momentu pędu to

image           (1)

z własności iloczynu wektorowego wybieram wektor położenia jako wektor odniesienia. Można wtedy opisać równanie (1) jako iloczyn wektorowy wektora położenia na składową prostopadłą wektora prędkości, wyniku którego uzyskujemy wektor momentu pędu będący prostopadły zarówno do wektora położenia jak i wektora prędkości.

     Dobieram układ odniesienia gdzie wektor położenia znajduje się na jednej z osi głównej układu A zaś wektor prędkości będzie na jednej płaszczyźnie AB wraz z wektorem położenia, wtedy wektor momentu pędu będzie się znajdował na osi C prostopadłej do tej płaszczyzny.

image

     Aby ułatwić trochę sprawę używamy abstrakcyjnego układu odniesienia gdzie wektor położenia pozostanie na osi A a zmieniać się będzie jedynie jego wartość za składowa prostopadła wektora prędkości pozostanie na osi B

image

zapisujemy zasadę zachowania momentu pędu

image

i możemy teraz policzyć czym jest zmiana wartości wektora położenia

image

Drugie rozwiązanie jest fałszywe. zapisuje więc pierwsze rozwiązanie w następujący sposób

image

(2)


     Tutaj utknąłem ostatnim razem po pozostaje pytanie czy pochodna (2) jest zawsze prawdziwa. To że obliczane prze zemnie przykłady  dawały poprawny wynik nie wystarczy, ponieważ być może są takie sytuacje kiedy pochodna ta nie działa prawidłowo. Rozwiązanie jak zawsze okazało się bardzo proste bo natura lubi proste rozwiązania.

     Rozdzieliłem pochodną (2) na dwie części i policzyłem je na bazie zmiany wektora położenia

image

suma tych składowych daje

image

      Jest to dowodem że pochodna (2) będzie zawsze prawdziwa dla ruchu płaskiego. Mimo że wielu dalej będzie narzekać to Ja już na bazie tego dowodu mam pewność że pochodna ta również się sprawdzi do opisu obracającej się Bryły Sztywnej. Pozostaje tylko kwestia zapisu dowodu.

     Dowodzi to też że wewnętrzna zmiana momentu bezwładności generuje niezerowy moment siły który rekompensuje tą zmianę tak aby wektor momentu pędu pozostał niezmienny w czasie zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu.


Dla SNAFU

image


Lubię to! Skomentuj13 Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie