W ostatniej notce udowodniłem istnienie Momentu sił wewnętrznych w mechanice BS.
https://www.salon24.pl/u/przestrz/832589,moment-sily-wynikajacy-z-pochodnej-kretu
Podziękowania też dla czytelnika Wiktora Wektora za próbę rozwiązania tych równań i wyprowadzenie kilku linijek:)
Istnienie wewnętrznych momentów sił nie jest nowym odkryciem, a jest faktem który fizykom jest dobrze znany. Wzmianki o jego istnieniu są w podręcznikach lub innych materiałach, ale niestety nie udało mi się dotrzeć do ich opisu i analizy. Ponieważ nigdzie nie mogłem tego znaleźć więc zrobiłem to sam od podstaw.
W poprzedniej notce nie umiałem jeszcze dokończyć tych równań. Minęło parę dni leniuchowania (niestety nie umiałem się zmobilizować do niczego) i trzeba wracać do pracy (tej realnej), a wolnym czasie (którego nie mam zbyt wiele) dokończyć dzieła.
Przypomnę że zakładamy za prawdziwe prawo zachowania momentu pędu podczas mechaniki obrotu BS. Wtedy
dL/dt=0 (1)
Wiemy że
L= Iω (2)
wstawiając do równania (1) mamy
d(Iω)/dt= ω(dI/dt) + Iɛ =0 (3)
zauważmy że
M= Iɛ (4)
Wiemy że podczas mechaniki obrotu BS dochodzi do zmiany momentu bezwładności w czasie. To jak się nam objawia pokazuje równanie
dI/dt=-M/ω (5)
Zmiana momentu bezwładności w czasie (jaki zachodzi podczas obrotu BS) jest ujemnie proporcjonalna do powstałego momentu sił wewnętrznych i odwrotnie proporcjonalna do prędkości kątowej.
Możemy więc teraz opisać czym jest moment sił wewnętrznych
M=-ω(dI/dt) (6)
Idziemy dalej i wyciągamy pochodną z dI/dt.
M=-ω(dmr^2)/dt (7)
Ponieważ masa m jest stała w czasie, więc możemy ją wyciągnąć przed pochodną i liczymy tylko pochodną z dr^2/dt. Otrzymujemy
M=-ωm(2r(dr/dt))=-2ωmrv (8)
ponieważ pęd to
p=mv (9)
To mamy teraz
M=-2ωrp (10)
I tu ostatnio Wiktorem Wektorem się zawiesiliśmy. Rozwiązanie okazało się dość proste, tylko trzeba było sobie przypomnieć Keplera i jego prędkość polową.
dA/dt=r(dr/dt)/2= (r x v) /2 = (r x p)/2m (11)
Warto tutaj przypomnieć że, prawo zachowania momentu pędu jest zachowane gdy prędkość polowa jest stała w czasie
S=dA/dt= constans (12)
Opisujemy więc zależność momentu pędu od prędkości polowej. Ponieważ
L = r x p = r x mv (13)
Używając równania (11) iloczyn wektorowy r x v jako podwójna prędkość polowa
r x v = 2S (14)
Mamy teraz następujący wzór na wektor krętu
L=m(r x v)=m2S=2mvr(sina) (15)
a – kąt między wektorami v, r.
W równaniu (7) mamy dr^2/dt i jest to wzór na podwójną prędkość polową wynikającą z drugiego prawa Keplera. Mając to na uwadze i podstawiając wzór na kręt (15) do równania (8) mamy
M=-ωL (16)
a to jest już mój wzór na moment siły który można zapisać jako
M=-ω x L (17)
Pełne wyprowadzenie M=ωIω można znaleźć w linku poniżej.
http://readgur.com/doc/245457/mechanika-bry%C5%82y-sztywnej-cz%C4%99%C5%9B%C4%87-ii-mechanika-bry%C5%82y-sztywne...
Udowodniłem więc nie tylko istnienie momentu sił wewnętrznych ale też poprawność wzoru (17). Przedstawiam jeszcze raz wizualizacje tego wektora momentu sił wewnętrznych.
