Dmu 11 - hotel Hilberta w arytmetyce

Ułamek 0,(9) (lub 0,999...) jest zapisem w którym cyfry 9 występują na kolejnych miejscach po przecinku, miejsc jest "w nieskończoność" numerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi, a pierwsze miejsce ma numer JEDEN.

Ułamek 0,(9) (lub 0,999...) jest hotelem Hilberta (skrót hH)

Miejsca po przecinku to pokoje w hH, a cyfry 9 to goście hotelowi.

Gości jest tyle samo co pokoi i oznacza to, że w zapisie 0,999...nie ma takiego miejca po przecinku na którym nie występowałaby cyfra 9.

hotel Hilberta ma komplet, jest zbiorem PEŁNYM.

. Twierdzenie

Jeśli któryś gość opuści hH

0,999... - 9/10^n

to suma szeregu 0,999... = 9/10^1 + 9/10^2 + 9/10^3 +... = 0,(9)

ulegnie zmniejszeniu, bowiem

0,999... - 9/10^n > 0,999...

powyższe jest dowodem na to iż

suma szeregów nieskończonych zależy od ILOŚCI elementów.

co było do okazania.

Edward Robak* z Nowej Huty -- miłośnik mądrości

*°"˝'´¨˘`˙·^:;~>¤<×÷-.,˛¸

Legenda

0,(9) (lub 0,999...) – w matematyce jest ułamkiem dziesiętnym nieskończonym.

Ułamek – wyrażenie postaci $\tfrac{a}{b}$ , gdzie a, nazywane licznikiem, oraz b, nazywane mianownikiem

Ułamek dziesiętny – zapis liczby rzeczywistej w postaci ułamka, którego mianownik jest potęgą o wykładniku naturalnym liczby 10.

Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej a przy pomocy szeregu liczbowego w postaci: $a=\pm\left(a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\dots\right)$

gdzie a₀, a₁, a₂, ... są liczbami naturalnymi,

Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, za to specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny

Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym.

Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno "w nieskończoność".

Paradoks Hilberta – paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia "ilości" elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte źródło: http://pl.wikipedia.org