Rozważania o nieskończoności

Z reguły nieskończoność kojarzy nam się z czymś bardzo wielkim, odległym, jako coś nigdy niekończącego się, czego nie ogarniamy zmysłami.

Nieskończoność powszechnie definiuje się, jako byt nieograniczony - w sensie wielkości bądź ilości.

Czy i jak możemy zobrazować nieskończoność na prostych przykładach?

W tym celu rozpatrzmy wybrane zbiory liczb.

W ujęciu matematycznym zbiór liczb rzeczywistych „R ”w sensie ilościowym jest zbiorem nieskończonym i zarazem zbiorem niczym nieograniczonym. Wypisz wymaluj pasuje dokładnie do definicji nieskończoności.

Całkiem inaczej przedstawia się sytuacja, kiedy weźmiemy pod uwagę zbór liczb naturalnych „N”, który również w sensie ilościowym jest zbiorem nieskończonym czy jednak możemy stwierdzić, że jest on również zbiorem niczym nieograniczonym?

Otóż z całą pewnością nie, ponieważ ma jednostronne ograniczenie w postaci liczby „1” lub „0”, które czasem zaliczamy do liczb naturalnych.

Powstaje wątpliwość, czy taki zbiór wpisuje się również w definicję nieskończoności?

Zapewne stwierdzimy, że tak pomimo jego jednostronnego ograniczenia pozostaje nadal zbiorem nieskończonym.

Nietrudno również zauważyć, że pomimo tego, iż oba te zbiory są nieskończone w sensie ilościowym jednak różnią się między sobą liczebnością.

Zbiór liczb naturalnych „N” jest mniej liczny od zbioru liczb rzeczywistych „R”.

Logika i zdroworozsądkowe rozumowanie prowadzą do wniosku, że nieskończone zbiory liczb rzeczywistych i naturalnych liczebnie nie są tożsame. Zbiór liczb naturalnych „N” zawarty jest w zbiorze liczb rzeczywistych „R”.

Jeszcze inaczej przedstawia się problem, kiedy staramy się odwzorować obraz nieskończoności dwustronnie ograniczony na przykładzie „odcinka”.

Odcinek to fragment linii prostej dwustronnie ograniczonej przez swój początek „P” i koniec „K”.

Linię prostą definiujemy, jako zbiór nieskończonej ilości punktów przestrzeni jednowymiarowej.

A ile punktów przestrzeni jednowymiarowej zawiera odcinek?

Tu z kolei musimy zdefiniować, co to jest punk przestrzeni.

Ogólnie punkt przestrzeni definiuje się, jako „obiekt bezwymiarowy”, który nie ma ani długości, szerokości, wysokości czy też średnicy.

Mamy, zatem odpowiedź – odcinek zawiera nieskończoną ilość punktów przestrzeni jednowymiarowej.

Dokładnie jak w przypadku zbiorów liczb rzeczywistych „R” i neutralnych „N” nieskończony zbiór punktów odcinka zawarty jest w nieskończonym zbiorze punktów linii prostej.

Brzmi jakoś mało przekonująco!

Kiedy jednak odcinek przedstawimy nie, jako zbiór punktów, lecz zbiór liczb niewymiernych zawartych pomiędzy „0” i „1” reprezentujących początek i koniec odcinka to taka interpretacja nabiera jeszcze bardziej realnego sensu, którą jesteśmy skłonni zaakceptować i ogarnąć zmysłami.

Zbiór liczb niewymiernych zawartych pomiędzy „0” a „1” jest zbiorem nieskończonym i obustronnie ograniczonym z jednej strony zmierza do zera a z drugiej do jedności.

Z kolei z jednej strony odcinek jest zbiorem nieskończonej ilości punktów przestrzeni z drugiej zaś strony jest obiektem geometrycznym skończonym, ponieważ posiada swój początek i koniec.

Jak w świetle tego przedstawia się „Wszechświat” czy jest skończony czy też nieskończony?

Problem ten analizuje ebook „Wszechświat w pustej przestrzeni” na przykładzie prezentacji nieskończoności w przestrzeni dwu i trój wymiarowej.