Dzisiaj przyszedł czas na obliczenie całki z 1/(1/r - 1/R)1/2 po dr (przy czym R nie zależy od r, R traktujemy jako stałą).
W zapisie bardziej przyjaznym dla oczu ta całka wygląda tak:
Przekształcamy nieco reprezentację funkcji podcałkowej uzyskując postać:
Żeby obliczyć tę całkę za mianownik podstawiamy s czyli przyjmujemy, że
s = (R/r - 1)1/2
czyli
s2 = R/r - 1
czyli
R/r = s2 + 1
czyli
r = R/(s2 + 1).
Powyższe równanie różniczkujemy po ds otrzymując:
dr/ds = -R·2s/(s2 + 1)2
Powyższe nasze obliczenia wstawiamy teraz do naszej całki
^2}ds "\int \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{\frac{R}{r}-1}}dr=\int \frac{\sqrt{R}}{s}dr=\int \frac{\sqrt{R}}{s}\cdot \frac{-R\cdot 2s}{(s^2+1)^2}ds")
czyli
^2}ds "\int\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{\frac{R}{r}-1}}dr=-2\sqrt{R}R\int\frac{1}{(s^2+1)^2}ds")
Całka po prawej stronie powyższego równania coś nam przypomina.
Obliczyliśmy ją w mojej poprzedniej notce.
Skorzystajmy z tamtego wyniku.
Otrzymujemy więc, że:
]&space;+&space;C "\int\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{R}}}dr=-\sqrt{R}R[\frac{s}{s^2+1} +\arctan(s)] + C")
gdzie s = (R/r - 1)1/2
czyli ostatecznie:
]&space;+&space;C "\int\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{R}}}dr=-\sqrt{R}R[\frac{\sqrt{\frac{R}{r}-1}}{R}r +\arctan(\sqrt{\frac{R}{r}-1})] + C")
