Rozwiązanie równania r^2 r'' = -A

Zaopatrzeni w wiedzę z mojej poprzedniej notki rozwiążemy teraz równanie różniczkowe postaci:

z warunkami początkowymi:

r(0) = R

dr(0)/dt = 0

(gdzie A i R są dodatnimi stałymi).

Wprowadzając zmienną v, taką że v=dr/dt, nasze tytułowe równanie przyjmuje postać:

i dalej kolejno:

Podstawiając do powyższego równania warunki początkowe można wyliczyć stałą C:

czyli

a zatem nasze równanie wygląda tak:

czyli

Z dwóch możliwości wybieramy właściwą i mamy:

i dalej kolejno:

Całka po prawej stronie powyższego równania coś nam przypomina.

Obliczyliśmy ją w mojej poprzedniej notce

Skorzystajmy z tamtego wyniku.

Otrzymujemy:

Podstawiając do powyższego równania warunki początkowe można wyliczyć stałą C:

czyli C = 0

Ostatecznie, nasze tytułowe równanie ma rozwiązanie w postaci: