Zaczynamy od twierdzenia:
Twierdzenie 1.
Liczba planet Układu Słonecznego jest potęgą liczby 2.
Rzut oka na Wikipedię i wiadomo, że twierdzenie jest prawdziwe, bo napisali tam „…układ planetarny w galaktyce Drogi Mlecznej, składający się ze Słońca i powiązanych z nim grawitacyjnie ciał niebieskich: ośmiu planet…”. Ósemka to trzecia potęga dwójki – znaczy twierdzenie prawdziwe.
Ale ktoś tak stary jak ja, w swoich czasach szkolnych zaproponowałby inną treść twierdzenia:
Twierdzenie 2.
Liczba planet Układu Słonecznego jest potęgą liczby 3.
Dla tych co nie wiedzą, bo są zbyt młodzi: wtedy Układ Słoneczny miał 9 planet. Pluton stracił to miano gdzieś w okolicy 2006 roku. Sprawdzamy: 9 do druga potęga 3. Jest OK.
Czyli w XX wieku Twierdzenie 1 było fałszywe, a Twierdzenie 2 prawdziwe. Dziś jest odwrotnie. I tu nachodzą nas wątpliwości: czyż nie opowiada nam się od lat, że twierdzenia w matematyce – w odróżnieniu od innych nauk – nie mogą przestać być prawdziwe? No bo zakładamy sobie założenie, wnioskujemy i wychodzi nam teza. Jak nie ma błędu – twierdzenie już na zawsze będzie nie do ruszenia. To jak jest z tymi planetami?
Chyba widać, że problem nie tkwi w matematyce. Podrążmy więc nieco.
Sformułowanie „Liczba planet…” jest skrótem od „Liczba elementów zbioru planet…” Teraz mamy nieco lepszy ogląd sprawy. Sprecyzowaliśmy miejsce, w którym występuje trudność policzenia planet, powołując się na pojęcie „zbiór planet”. Podobnie było w książkach do matematyki z początkowych klas szkoły podstawowej: mieliśmy tam „zbiór gruszek w koszyku”, „zbiór uczniów klasy” i inne zbiory też. Skoro można mieć zbiór uczniów czy gruszek, to czemu planety są złe? Tak naprawdę, to już uczniowie z gruszkami są źli.
Nie jest to widoczne na pierwszy rzut oka. Ludzkość „od zawsze” liczy sobie różne rzeczy i to działa. Tak w końcu narodziły się liczby naturalne. Wspomniana książka od matematyki realizowała naturalne pojęcie liczby naturalnej, obowiązujące jeszcze w XIX wieku. Co to jest liczba? Spytajcie się swoich dzieci, co to jest liczba. Duża szansa, że odpowiedzą wam: „Liczba jest wtedy jak trzeba powiedzieć, ile jest czegoś”. Żeby każdy wiedział, ile czego ma.
No i jak klasa miała 20 uczniów, to zbiór uczniów miał 20 elementów, czyli liczba 20 oznaczała pewną właściwość tego zbioru. Ale tak nie jest dobrze. Bo gdzieś pod koniec czerwca pojęcie klasy zaczynało się rozpływać i już na wakacjach wcale nie było wiadomo czy w ogóle można sobie używać takiego zbioru. Nie mówiąc o czasie po skończeniu szkoły… Wspomniane wcześniej gruszki też nie są wieczne :) Prędzej czy później na podobne kłopoty natrafimy w innych przypadkach „zbiorów zbudowanych z materialnych obiektów”.
Użyłem cudzysłowu, bo gdzieś na przełomie XIX i XX wieku takie „zbiory” zostały jawnie wyrzucone z matematyki. Parafrazując żarcik o niemieckiej filozofii, że jest oparta na kancie i wywodzi się z niczego: zbiory w matematyce też zbudowane są z niczego, a ściślej ze zbioru pustego. Można żałować, że w ten sposób odcięła się ona od swoich korzeni, ale cóż zrobić. Przynajmniej możemy odetchnąć spokojnie, że twierdzenie o planetach nie stanowi sobą sprzeczności w ciele królowej nauk. Skoro pojęcie „zbiór planet Układu Słonecznego” nie należy do matematyki, to raczej nie można go używać w twierdzeniach matematycznych.
