Dlaczego stan mieszany to macierz gęstości?

No właśnie, dlaczego tak się nazywają? Pamiętamy, że stan mieszany to funkcja, której dziedziną jest zbiór operatorów liniowych, a właśnie w tym zbiorze znajdują się obserwable.

Macierz a operator

Zacznijmy od tego co to to jest „liniowy”. Najprościej opisać to tak: Jeśli mamy na wejściu dwa sygnały, które są przetwarzane do jednego na wyjściu, to owo przetwarzanie jest liniowe, jeśli nie ma znaczenia czy najpierw dodamy sygnały i potem je przetransformujemy, czy najpierw je przerobimy a potem dodamy. Na przykład taki sprzęt hi-fi powinien być jak najbardziej liniowy w swoim działaniu.

Zastanówmy się jak zapisać na przykład liniową transformację płaszczyzny czyli pary liczb x i y. Od razu napiszę najbardziej ogólne przekształcenie liniowe:

x’ = ax + by
y’ = cx + dy

Primy oznaczają przetworzone współrzędne, a liczby a, b, c, d to parametry przekształcenia. Matematycy lubią zapisywać powyższy wzór w postaci wektorowo macierzowej:

$( x', y' ) = {a b \\ c d} (x, y)$

Parametry a, b, c, d w nawiasach to właśnie macierz. Każde odwzorowanie liniowe da się zapisać jako macierz, więc dla wielu fizyków nie ma wielkiej różnicy pomiędzy operatorami liniowymi a macierzami. No a przecież obserwable to operatory liniowe, czyli da się je zapisać macierzowo![1]

Niestety, jeśli nie wiesz, jak takich macierzy się używa, to reszta notki wyda ci się napisana w nieznanym języku. Kiedyś o macierzach uczyli w liceum – liczyło się ich wyznaczniki przy rozwiązywaniu równań liniowych – ale dziś, to chyba coraz bardziej „wiedza tajemna”[2].

Warto zaznaczyć jeszcze jedną ważną rzecz: postać macierzy zależy od wyboru układu współrzędnych w przestrzeni wektorów. Algebraicy mówią na taki układ: baza. Można wybrać sobie różne bazy. Inna baza – inna macierz tego samego operatora. Swoboda nie jest jednak tak wielka, jak można by się spodziewać: Wszystkie wzory w mechanice kwantowej, powołujące się na konkretną bazę φ_i, zakładają, że wybraliśmy bazę ortonormalną, to znaczy, że długość wektorów bazowych jest równa 1, i parami są one do siebie prostopadłe. Można to zapisać tak:

$(φ_i, φ_j) = {1 dla i=j, 0 dla i\not=j }$

Powyższe wyrażenie zapisuje się używając symbolu δ_ij i jest ono lubiane, kiedy pojawia się w jakichś sumowaniach (ZTS dlaczego?)

Od stanu do macierzy

No to zdradzę tajemnicę, dlaczego używa się słowa macierz. Przypominamy sobie: stany to funkcje liniowe z przestrzeni operatorów A do liczb:

ρ: A ∋ F ↦ ρ(F) ∈ C

Obserwablę F możemy zapisać jako macierz. Symbolicznie zapisujemy jej współrzędne: F_ij (i to numer wiersza, j kolumny). Jak działa funkcja liniowa? Każdą współrzędną trzeba przemnożyć przez jakąś liczbę i dodać to wszystko do siebie. Czyli wynik takiego działania da się opisać następująco:

∑_ij X_ij F_ij

Fizycy wolą to działanie zapisać tak:

Biorą macierz ρ_ji = X_ij
Mnożą macierz ρ przez macierz F: (ρF)_ik = ∑_j ρ_ijF_jk
Z tak otrzymanej macierzy zliczają elementy na przekątnej. Zapisuje się to symbolem Tr ( co jest skrótem od trace – ślad): Tr(ρF) = ∑_i (ρF)_ii = ∑_ij ρ_ijF_ji
Wychodzi postać ogólnego wyrażenia na funkcję liniową mającą F jako argument.

Macierz ρ nazywana jest właśnie macierzą gęstości.

A! jeszcze trzeba pamiętać jakie narzuciliśmy dwie notki temu na miary μ: miały być dodatnie i sumować się do jedynki. Oba da się przenieść na przypadek macierzy, ale tylko drugi da się stosunkowo łatwo zapisać: Tr(ρ) =1. Kwantologia wymaga dodatkowo, żeby stany były hermitowskie, co można tłumaczyć „zgodne z liczbami rzeczywistymi na tyle, na ile się da”.

Macierz stanu czystego

Pora na przykłady macierzy gęstości. Na rozgrzewkę spróbujmy odnaleźć macierz stanu czystego ψ:

ρ_ψ(F) = (ψ, F ψ)

Powyższy wzór trzeba rozpisać we współrzędnych:

$(ψ, Fψ) = \sum_j \bar ψ_j (Fψ)_j = \sum_{ji} \bar ψ_j F_{ji} ψ_i = \sum_{ji} ψ_i \bar ψ_j F_{ji}$

No i porównując to wzoru parę akapitów wyżej widać, że współrzędne macierzy gęstości stanu czystego są następujące:

$\rho_{ij} = ψ_i \bar ψ_j$

Macierz gęstości stanu pomieszanego…

…czyli takiego, co to wiemy z prawdopodobieństwem ρ_i, że układ jest w stanie φ_i. Zakładamy przy tym, że φ_i tworzą bazę. Przepiszmy wynik z poprzedniej notki:

ρ(F) = ∑_i ρ_i (φ_i, Fφ_i ) = ∑_i ρ_i F_ii

Zauważmy, że taki sam wynik uzyskamy jeśli obliczymy Tr( ρF ), gdy ρ jest macierzą:

${na przekątnej ρ_1, ρ_2, ρ_3...}$

I w tym miejscu pora na kilka uwag:

Postać macierzy operatora zależy od tego, jakie wektory φ_i wybraliśmy jako bazowe w przestrzeni Hilberta. Jeśli akurat są takie, że odpowiadają naszym informacjom o spodziewanych prawdopodobieństwach, tak jak w powyższym przypadku, postać macierzy gęstości ma ładną postać z niezerowymi wyrazami tylko na przekątnej. W innym przypadku nie będzie tak wesoło i przy wybraniu innej bazy w H, zmieni się postać macierzy – mogą pojawić się elementy poza przekątną.

Jak widzieliśmy, wypisany wyżej stan czysty „równomiernie” wypełnia macierz gęstości, a stan mieszany lokuje się na przekątnej. Ale nie po tym rozpoznajemy stopień pomieszania stanów! Powyższy „efekt” wynikał tylko z takiego, a nie innego wyboru bazy. Mając konkretną macierz trudno na pierwszy rzut oka oszacować stopień jego pomieszania. Ale jest na to rada:

Każdą macierz hermitowską, a stany takie właśnie są, da się zdiagonalizować, to znaczy wybrać taką bazę w przestrzeni wektorów, żeby macierz danego operatora miała niezerowe elementy (wartości własne) tylko na przekątnej. Zwykle nie jest to łatwe do policzenia, ale można na przykład bardzo łatwo zdiagonalizować macierz stanu czystego odpowiadającemu danemu wektorowi ψ: Wystarczy wziąć dowolną bazę zawierającą ψ. Wtedy macierz gęstości sprowadzi się do postaci, gdy jedna z pozycji na przekątnej będzie równa 1, a reszta wyrazów 0 (sprawdzenie metodą ZTS).

Podsumujmy więc sposób na oszacowanie „pomieszania” stanu, mając jego macierz ρ_ij:

diagonalizujemy ρ;
patrzymy na wartości własne (powinny być nieujemne i sumować się do 1);
im bardziej „równomiernie” porozkładane są owe wartości na przekątnej – a przecież pamiętamy, że możemy je traktować jak wagi przy średniej ważonej – tym stan bardziej jest pomieszany (tym mniej wiemy o naszym układzie);
w przypadku, gdy macierz gęstości zmienia się w czasie[3], diagonalizacja może okazać się trudniejsza, choć dla wielu przypadków i tak jest trudna już dla pojedynczej macierzy.

W ramach ilustracji mały przykład dla trzywymiarowej przestrzeni Hilberta:

trzy macierze - dużo pisania

Najbardziej pomieszany stan

Taki najbardziej pomieszany stan da się określić tylko w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych. Odpowiada on sytuacji gdy o układzie nie wiemy nic. Każdy stan jest dla nas jednakowo prawdopodobny – gdyby było inaczej, coś już byśmy wiedzieli. Wtedy, macierz gęstości jest „unormowaną” macierzą jednostkową (n to wymiar przestrzeni wektorowej):

1/n { macierz jednostkowa }

Czyli wszystkie prawdopodobieństwa są jednakowe, dla każdego stanu. Co ciekawe, taka postać macierzy gęstości jest jednakowa dla każdego zestawu wektorów bazowych, co jest dość oczywiste jak się nad tym choć trochę zastanowić[4].

Intuicja algebraiczna…

…o którą się oparłem, niekoniecznie musi się sprawdzać – notka była pisana tak, jak gdyby przestrzeń Hilberta stanów czystych była skończenie wymiarowa. A przecież sporo przykładów w kwantologii tyczy się nieskończenie wymiarowych przestrzeni (choćby cała mechanika falowa). Co wtedy? Nie jest lekko i trzeba uważać – dość łatwo uzyskać nieprawdziwe wyniki, stosując wobec obserwabli czy stanów procedury rachunkowe sprawdzające się dla macierzy skończonych. Trzeba jednak przyznać, że fizycy matematyczni włożyli mnóstwo wysiłku w to, żeby obiekty, przed którymi tak beztrosko piszemy np. znak śladu, zachowywały się zgodnie z oczekiwaniami.

Na koniec nie mogłem się powstrzymać, przed podaniem takiego, dość zabawnego przykładu, wykorzystującego dwie własności śladu:

Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) i Tr(AB) = Tr(BA)

Można mianowicie pokazać, że niemożliwa jest reguła komutacji dla pędu i położenia, czyli [x,p]=iħ. Trzeba tylko wziąć ślad z obu stron równania. Ślad z macierzy jednostkowej, która ma nieskończony wymiar (suma nieskończonej ilości jedynek na przekątnej) będzie nieskończony:

$L: Tr([x,p])=Tr(xp - px)=Tr(xp)-Tr(px) = 0 \\ P: iħ razy suma nieskończonej ilości jedynek$

Czyli wychodzi, że 0=i∞.

I tym żarcikiem, nie na temat, kończę niniejszą notkę.

[1] Ale kłamię! Tak jest tylko dla przekształceń skończenie wymiarowych. W przypadku mechaniki kwantowej zwykle operatory działają na przestrzeniach nieskończenie wymiarowych i traktowanie ich jako macierzy prowadzi czasami do dziwnych, a co gorsza nieprawdziwych wniosków. Trzeba uważać kiedy można, a kiedy nie – przykład podaję na końcu niniejszej notki. Mimo to myślenie o operatorach jako o macierzach czasami jest pożyteczne. W końcu pierwsze kwantowanie odbyło się „macierzowo”. Tyle, że nieświadomie, bo dopiero Dirac uświadomił Heisenbergowi, że ten mówił prozą.

[2] Jakby napisał Waldemar – notka pisana dla kapłanów.

[3] Można uogólnić równanie Schrödingera na stany mieszany, choć to nie jedyna możliwość zadawania ewolucji na stanach.

[4] Stan najbardziej pomieszany to operator mnożenia przez liczbę 1/n. Postać macierzy musi być taka sama w każdej bazie.