Aparat matematyczny przyswojony przez mechanikę kwantową jest przykładem swoistej nadprodukcji: Z całego bogactwa matematycznych bytów wykorzystujemy nieliczne. Spójrzmy na zbiór potencjalnych stanów w mechanice falowej: są nimi wszystkie funkcje, których kwadrat modułu (czyli gęstość prawdopodobieństwa) da się scałkować. Strasznie bogaty zbiór funkcji. Do użytku nadaje się jednak tylko niewielki ich podzbiór.
Przede wszystkim musimy wyrzucić wszystkie funkcje nieciągłe. To co zostanie, też pewnie trzeba będzie jeszcze odchudzić, ale skupmy się dziś na tych nieciągłościach. Co złego jest w takiej funkcji? Ano to, że średnia energia kinetyczna w takim stanie jest nieskończona. Jak się o tym przekonać? Spójrzmy na wykres pewnej funkcji w jednym wymiarze (zaokrąglenia funkcji zapewniają, że dalej przeprowadzane obliczenia, będą poprawne matematycznie – wprowadziłem je po dyskusji z Tichym):
Żeby uzyskać nieciągłość, będziemy skracać parametr d do zera. Gdybyśmy chcieli policzyć energię, to się okaże, że całkowanie obejmie tylko dwa obszary, gdzie nasza funkcja się zmienia. Wynik będzie proporcjonalny do 1/d:
I w zasadzie w tym miejscu mógłbym zakończyć notkę, bo skoro funkcja nie ma odpowiednika w rzeczywistości, to po co o niej pisać? Ale tak nie zrobię, bo takie nieciągłe stany mogą mieć też inną własność, która sama w sobie jest bardzo interesująca. Zwrócił na nią uwagę M. Berry – znany badacz układów chaotycznych – ewolucja czasowa takich stanów może prowadzić do funkcji falowych, które są fraktalami[1]. W tym celu taką funkcję trzeba zamknąć w pudełku.
Równanie Schrödingera nie ma sensu dla nieciągłych funkcji falowych – zresztą dla nieróżniczkowanych również, gdyż w równaniu występuje druga pochodna przestrzenna. Pomimo to – przypomnę tu żart prof. Jadczyka – nawet jak samo równanie nie ma sensu, to mają sens jego rozwiązania[2]. A mianowicie: zamiast rozwiązywać:
znajdujemy (jak nam się uda ☺):
ψt>0 = exp{ –iHt/ħ } ψt=0.
Eksponenta Hamiltonianu istnieje dla wszystkich, nawet najbardziej pokręconych, funkcji z przestrzeni stanów. Berry podał przykłady, gdy początkowa funkcja falowa skokowo zmienia swoją wartość, to wynikiem ewolucji jest znana z matematyki fraktalna funkcja Wirrestrasa. Nie wiem czy podobny efekt uzyskamy nie ograniczając funkcji falowej w pudełku, ale wcale bym się nie zdziwił[3].
Q-obrazki
No i pora na kilka obrazków pokazujących ewolucję czasową pochodzącą z wykorzystanego (i napisanego) już wcześniej przez mnie programu do pokazywania zmian funkcji falowej jednym wymiarze. Przypominam, że rozwiązanie polega na rozłożeniu wektora początkowego w bazie wektorów własnych operatora energii, przemnożeniu współrzędnych przez odpowiednie fazy i wysumowaniu wartości funkcji w kolejnych punktach wykresu. Dokładniej zostało opisane w notce „Kwantowe odbijanie się od ścian”.
Przy założeniu, że funkcja początkowa zajmuje połowę szerokości studni, jej składowe można wyliczyć:
Dane te wpisałem do programu komputerowego. Można się spodziewać, że powyższą formułę da się jakoś zapisać prościej, co też zostanie zrobione na końcu notki.
W programie nie można wziąć dowolnie wielkiej liczby składowych, ale może to i lepiej, bo od razu widać, gdzie „chowa się” nieskończoność w nieciągłości funkcji startowej. Film pokazuje ewolucję stanu – a ściślej |ψt (x)|2 – obejmującego 500 składowych:
Uwaga dla szczególarzy
Berry w swojej pracy wystartował od przypadku, gdy funkcja falowa zajmuje równomiernie całą studnię (pudełko). Można policzyć współrzędne takiego stanu w bazie wektorów własnych energii – fizycy mówią o reprezentacji operatora energii:
ψB = (stała) { 1, 0, 1/3, 0, 1/5, 0, 1/7, … }
W moim programie, gdy startowałem od funkcji zajmującej środkową część studni, wyliczone współrzędne mają wartości:
ψZ = (stała) { 1, 0, -1/3, 0, -1/5, 0, 1/7, … }
I tu ciekawostka: po odczekaniu 1/16 czasu powrotu[4] (klatka z numerem 250) funkcja falowa zajmie cały obszar studni. Czynniki fazowe pochodzące od ewolucji: exp{ –iEnt/ħ} dla nieparzystych n przyjmą rzeczywiste wartości ±1 (przemnożone przez stałą fazę zespoloną). Jak się je przemnoży przez współrzędne, to minusy trafią na składowe ujemne, a plusy na dodatnie i… jeden stan przejdzie w drugi. Żeby to zobaczyć trzeba sobie policzyć te czynniki, albo wystarczy odczekać kawałek filmiku, przedstawiającego ewolucję fraktalnej funkcji falowej.
* * *
Powyższa notka nawiązuje do dawno napisanej „Jaki jest ruch każdy widzi”, gdzie próbowałem znaleźć stan odpowiadający „całkowitemu bezruchowi”. Przypominam – pierwszy kandydat z tamtej notki, to stała funkcja falowa zamknięta w pudełku. Jak widać z powyższych rozważań, ruchu jest tu nadzwyczaj dużo – można powiedzieć nawet że nieskończenie dużo ☺.
[1] A dowiedziałem się tego czytając stronę internetową Delty, niegdyś dość znanego czasopisma popularnonaukowego. Praca Berry’ego to „Quantum fractals in boxes” J. Phys. A: Math. Gen. 29 (1996).
[2] Żart, żartem – w porządnej mechanice kwantowej inaczej się to formułuje: Jeśli operator H ma wystarczająco dużą dziedzinę, to jest on generatorem grupy unitarnej (ewolucji czasowej) na całej przestrzeni Hilberta.
[3] Nasi D. Wójcik, I. Białynicki-Birula i K. Życzkowski odnaleźli fraktalne zachowania dla stanu umieszczonego w potencjale oscylatora harmonicznego – „Time Evolution of Quantum Fractals” Phys. Rev. Lett. 85 (2000).
[4] Co to jest czas powrotu piszę w „Kwantowe odbijanie się od ściany”. Dla omawianego dziś przypadku, przy utożsamieniu stanów różniących się tylko globalną fazą, czas powrotu będzie równy 1/4 czasu z tamtej notki. Dlatego film ma „tylko” 2000 klatek i obejmuje dwa pełne obiegi.
Komentarze