Ostatnią notkę p.t. “Jeszcze o powrotach i przyśpieszeniach” kończylo zadanie zachęcające do udowodnienia twierdzenia.
Pokazać że czasoprzestrzenny interwał wzdłuż linii jednoczesności, łączący dowolne dwie wybrane hiperbole z naszej rodziny, jest staly w czasie.
Cosmic Hurricane: Black Hole Has 20 Million MPH Winds
W dyskusji pod notką wymienilismy z Bjabem kryptyczne uwagi na temat jak to zadanie rozwiązać.
Nie na wiele się takie od niechcenia jakby rzucane uwagi Czytelnikowi przydają. Zapewne jedynie nieco denerwują, że mianowicie “się popisujemy”,
A ja serio gdy to zadanie pisałem, nie wiedziałem jak to twierdzenie z zadania udowodnić. To znaczy wiedziałem, że twierdzenie jest prawdziwe, i widzialem jak je powinno się dać udowodnić, ale nie widziałem żadnego eleganckiego sposobu dowodu. Bo w matematyce elegancja się liczy. Eleganckie dowody są cenione. Pod tym względem matematyka jest trochę jak moda na salonach.
W międzyczasie, od czasu napisania tej notki, pojawiały się w moich myślach różne idee dotyczące tego i pokrewnych problemów. Aż zeszłej nocy przyszło na mnie olśnienie. Obudziłem się myśląc o … porywach. O porywach pisałem już w notce “Obroty i wiatr Minkowskiego“ zaczynającej się od opisu aktualnej pogody”
“Rozszalał się kosmiczny sztorm i wiatr w porywach dochodził do 300 000 km/sek. ...”
Jednak od czasu moich studiów porywy z meteorologii trafiły do fizyki. W samej rzeczy na seminariach w Instytucie co i rusz ktoś opowiadał o “bustach” w przestrzeni Minkowskiego, po angielsku pisało się się to “boost”, a chodziło o specjalną transformację Lorentza, przejście z jednego układu inercjalnego do innego (patrz np. “What is a Lorentz boost and how to calculate it?”)
Mój dobry kolega, obecnie profesor B.J, był zawsze bardzo czuły na punkcie języka polskiego, zaczął myśleć, aż wymyślił, by angielski “boost” zastąpić polskim “porywem”. I tak się przyjęło. Patrz Angielsko-polski słownik nowych terminów fizycznych
Wracam jednak do mego nocnego olśnienia. Najpierw olśniła mnie myśl, a raczej wizja, tego o tym jak to Słońce ze swych myśli usypuje pagórek. Pewnie szło o wiatr słoneczny? A potem już pomyślałem o porywach. I ta myśl była porywająca. I teraz to ujmę w formuły matematyczne. W eleganckie formuły, powiedziałbym nawet ekscytujące, a nawet: seksowne. Matematycy, jak powiedziałem, to lubią. W równaniach, w fomułach, odnajdują sens i piękno życia. Filozofowie jednak mogą (choć nie muszą) mieć do równań i formuł, choćby nie wiem jak pięknych, świadomą lub nieświadomą, awersję i alergię.
Dość wszak agresji i dygresji. Zabierzmy się do uczciwej pracy.
W notce “Obroty i wiatr Minkowskiego“ podałm dwie równoważne formuły na macierz porywu w przestrzeni Minkowskiego. Oto one:
Fig 1
Fig 2
W drugiej z tych macierzy, Fig 2, parametrem jest β = v/c, w pierwszej, Fig 1, parametrem jest χ = atanh β . Fizyk będzie zapewne wolał β , bo ten parametr ma prosty sens fizyczny: to stosunek prędkości v jednego układu względem drugiego do prędkości światła. Jednak matematyk może się na to skrzywić, Oznaczając bowiem macierz przksztalceń (9) i (10) przez L(β ) i składając ze sobą te preksztalcenia dla dwóch róznych β znajdujemy “dziwną” formułę relatywistycznego składania prędkości:
L(v2) L(v1) = Lv3)
gdzie
v3 = (v1+v2)/(1+v1v2/c2)
Matematyk od razu zobaczy, że “coś tu nie tak”. Że to “nieeleganckie”. Elegancki matematycznie jest natomiast parametr χ = atanh β . Oznaczając przez L(χ) macierz z pierwszej tablicy znajdujemy:
L(χ2)L(χ1) = L(χ1+ χ2)
Piękne i proste. Macierze L(χ) tworzą jednoparametrową grupę macierzy. Sama rozkosz.
Skoro jednoparametrowa grupa, to wszystkie te macierze powstają przez eksponencjal jednej macierzy – generatora tej geupy. W naszym przypadku zachodzi:
L(χ) = exp ( -χ N),
gdzie N, generator tej jednoparametrowej grupy jest super-prostą macierzą-zera na diagonali, jedynki na antydiagonali. (Mój kolega B.J. wspomniany wyżej, pogniewałby się na mnie z pewnością za tę moją “diagonalę” zamiast “przekątnej”:
N = ((0,1),(1,0))
Kto umie eksponencjować macierze, ten może sprawdzić. A kto nie umie, albo umie i chce się upewnić, ten może pójść tu https://www.wolframalpha.com/ i wpisać Matrix exponential. A potem w okienku na computational input, matrix wpisać: -chi {{0,1},{1,0}}. Wynik będzie zapisany przez zwykłe eksponencjały. Trzeba w nich rozpoznać funkcje sinh i cosh.
Gdyby w wierszu na dole była minus jedynka, dostalibyśmy sinusy i kosinusy – macierz obrotów. A tak dostajemy sinusy i kosinusy hiperboliczne, obroty hiperboliczne, albo “porywy”.
Orbity obrotów to okręgi. Orbity porywów to hiperbole. Jak na tym obrazku z notki o porywach. Są to historie naszych statków kosmicznych.
W chwili T=0 startują w tym samym kierunku, Wystarczy przyjrzeć się trajektoriom tylko w pierwszej ćwiartce, dla T dodatnich oraz X dodatnich W chwili T=0 nasze statki startują z położeń dla wartości X=0.5,1,15,2,2.5 itd z przyśpieszeniami odpowiednio 1/0.5, 1,1/1.5,1/2,1/2.5 . Przy tym, zgodnie z nieudowodnionym twierdzeniem z poprzedniej notki, odległości pomiędzy tymi statkami, mierzone przez obserwatorów na tych statkach, nie ulegają zmianie. Zatem i liny łączące te statki ze sobą nie pękają.
Jak to udowodnić? Najprościej tak.
Transformacje opisywane macierzami L(χ) z Fig. 1 są liniowe. Zatem przeprowadzają proste wychodzące z początku układu współrzędnych w inne proste wychodzące z tego punktu. W szczególności oś X jest przeprowadzana w prostą. Oto takie dwie proste dla χ =0.1 i dla χ =1.
Trzeba sobie wyobrazić teraz, że ta prosta obraca się w sposób ciągły. Przy tym każdy z punktów tej prostej ślizga się po każdej przecinającej ją hiperboli, bowiem hiperbole są orbitami naszej grupy.
Przekształcenia Lorentza opisywane macierzami L(χ) zachowują interwały czasoprzestrzenne między punktami. Stąd i interwały czasoprzestrzenne pomiędzy różnymi hiperbolami mierzone wzdłuż naszej obracającej się prostej są stałe. A te interwały to właśnie odległości pomiędzy statkami mierzone przez poruszających się wraz nimi obserwatorów.
Koniec dowodu. Czyż nie elegancki? Czy nie zachwyca? No, filozofa może nie zachwyci, ale matematyka i fizyka na pewno!
