Zaczęliśimy od żeglowania po n-wymiarowych rozmaitościach, przeszliśmy przez wymiary i wektory, by spacerując przez pola wektorowe natknąć się w końcu nieuchronnie na kwestię istnienia.
Znaleźliśmy się w tunelu definicji. By wyjść z tunelu, by ujrzeć światło, musimy poruszyć, normalna sprawa, kwestię istnienia.
Przypomnę definicję pola wektorowego z poprzedniej notki. Mamy zbiór M, mamy jakąś algebrę F funkcji na M o wartościach rezeczywistych, i definiujemy pole wektorowe jako „różniczkowanie algebry F”, tzn jako liniowe odwzorowanie X:F → F o własności
X(fg) = X(f) g + f X(g)
dla dowolnych funkcji f,g z F. Własność ta definiuje tzw. różniczkowanie algebry, bowiem przypomina nam znaną z liceum właśność pochodnej iloczynu: pochodna iloczynu funkcji to suma: pochodna pierwszej razy druga plus pierwsza razy pochodna drugiej.
Wszystko pięknie i ładnie, jednak w komentarzu po poprzednią notką bloger Tichy dał wyraz swoim słusznym niepokojom: skąd wiemy, X-y o takiej własności w ogóle istnieją. Łatwo bowiem zdefiniować jednorożca, jednak kwestii istnienia jednorożców w realu nawet pisanie o jednorożcach całych książek nie rozwiązuje.
W samej rzeczy w dyskusji pod notką Krótko o wymiarach i wektorach doszliśmy do wniosku, że w przypadku gdy F jest algebrą wszystkich funkcji na zbiorze dwupunktowym, jedynym polem wektorowym jest pole zerowe. A takie trywialne pole problemu istnienia tak na serio nie rozwiązuje.
Wyjdźmy zatem z mrocznego tunelu algebry, wyjdźmy na światło, na łąkę, i tam wróćmy do spaceru w wysokiej i pachnącej trawie rozmaitości, tak jak to już raz zrobiliśmy w notce Żeglując algebrą po n-wymiarowych rozmaitościach.
Nasze rozumowania są przy tym „lokalne”, interesuje nas zatem otwarty obszar w Rn pokryty jedną mapą, jedną siatką współrzędnych (x1,x2,...,xn) . Gdybym chciał się ograniczyć do dwóch wymiarów, oznaczyłbym współrzędne punktów literkami (x,y), jednak nic nas nie kosztuję rozważenie rozmaitości n-wymiarowych. Nasze współrzędne przebiegają przez zbiór otwarty U w Rn.
Za algebrę funkcji F na rozmaitości M wyposażonej w mapę z siatką współrzędnych (x1,x2,...,xn) bierzemy teraz, jak na koneserów przystało, algebrę wszystkich funkcji gładkich f(x1,x2,...,xn).
Co to są funkcje „gładkie”. Są to funkcje nieskończenie wiele razy różniczkowalne. Przykładem takiej funkcji (w jednym wymiarze) jest exp(x) . Pochodna z exp(x) to ta sama funkcja exp(x). Możemy różniczkować w nieskończoność. Inny przykład to funkcja sin(x), pochodna sinusa to kosinus, pochodna kosinusa to minus sinus, i tak możemy różniczkować w nieskończoność. Jeszcze inny przykład to wielomian k-tego rzędu, np. x2+x, dla k=2. K-ta pochodna takiego wielomianu to stała, pochodna rzędu k+1 to zero, i tak możemy różniczkować w nieskończoność. Przykładem funkcji niegładkiej może być funkcja f(x)=x2 sin(1/x) zdefiniowana w zerze jako f(0) = 0. Funkcja ta jest raz różniczkowalna, ale już druga jej pochodna w zerze nie istnieje.
Do naszej algebry F należą między innymi same współrzędne, na przykład f(x1,x2,...,xn)=xi, dla i=1,...,n.
I teraz już kwestię istnienia mamy w zasadzie rozwiązaną. Wprowadźmy mianowicie odworowania Xi: F → F zdefiniowane jako pochodne cząskowe
Xi = ∂ /∂ xi
tzn
Xi(f) = ∂f(x1,x2,...,xn)/∂xi
To, że tak zdefiniowane Xi są polami wektorowymi wynika z własności pochodnych cząstkowych (pochodna iloczynu funkcji).
Skoro istnieją pola wektorowe, i to niezerowe, istnieją także wektory styczne w każdym punkcie p. Czy wektory (∂ /∂ xi)p są liniowo niezależne? To jest poważny problem dla licealisty. Bez pomocy „Pani, która wie wszystko", zapewne zbyt poważny?
Komentarze