Od dawna wirusy działają także w służbie biologii molekularnej jako wektory do przenoszenia materiału genetycznego. Fotkę przykładowych wektorów pokazałem już w poprzedniej notce „Wektory jako obiekty geometryczne”.
Oto on raz jeszcze
Jak widać wektory bywają większe i mniejsze, i całkiem małe. Obecnie, gdy tyle się pisze o pandemii, mamy wręcz pola wektorowe Oto artykuł z Journal of Virology "Coronaviruses as Vectors: Stability of Foreign Gene Expression"
I tym się teraz chcę zająć, jako, że temat aktualny: polami wektorowymi. Ale najpierw wrócę do pytania Tadeusza Tumalskiego pod poprzednią notką, gdzie wektory styczne do rozmaitości były zdefiniowane, prosto i elegancko, jako różniczkowania algebry funkcji Pytał tak:
Zerknąłem do dawnych zapisków, a tam faktycznie to różniczkowanie tego mnóstwa funkcji tak opowiadali już przed laty.
Ale tak jak wtedy, tak i teraz nie mogę sie dopatrzeć jak z tego różniczkowania jakiegoś fotona, o elektronie nie wspominając, ulepić.
A ja odpowiedziałem:
Żeby uszyć koszulę, trzeba mieć igłę i nici. Patrząc na to jak się robi igły też nie można się dopatrzeć jak z tej igły koszulę ulepić....
Pomyślałem sobie, żeby temat tej igły rozwinąć, skonkretyzować. Igłę najlepiej skonkretyzować kłując żyłę strzykawką. O tym jednak trochę niżej. Igła podobna jest do wektora. Ale ja, w mej odpowiedzi, miałem na myśli trochę co innego.
Z przestrzeni stycznej buduje się algebrę Grassmanna. Gdy się ma jeszcze metrykę (pole grawitacyjne), buduje się też algebrę Clifforda. Algebra Clifforda działa na algebrze Grassmana. Pola fotonowe to cięcia wiązki algebr Grassmanna. Pola elektronowe to inne cięcia tej samej wiązki. A z algebry Clifforda szyje się operatory Diraca i operatory Maxwella działające na pola elektronowe i fotonowe– tak powstaje (nieco alternatywna) elektrodynamika - jak to nazywał Feynman: „Osobliwa teoria światła i materii”
Aktualnie pracuję nad artykułem o takich działaniach algebr Clifforda na alebry Grassmanna. Mam termin do końca grudnia. Staram się być nieco oryginalny, zatem rozważam przestrzenie liniowe nie tylko nad ciałem liczb rzeczywistych i zespolonych, ale także nad ciałami skończonymi, takimi jak się je dziś używa w kryptografii. Najprostszy przykład to ciało liczb dwójkowych, gdzie 1+1=0. W przestrzeni liniowej nad takim ciałem każdy wektor x ma tę własność, że x+x=0, zatem -x =x. Trochę trudno z czymś takim pracować. Ja aktualnie mam kłopoty z eksponencjałem operatora liniowego na takiej przestrzeni. Normalnie eksponencjał exp(A) definiuje się jak szereg
exp(A) =Σ (1/n!) An
Ale jak tu definiować eksponencjał gdy nie wolno dzielić przez 2, bo 2=0? No więc mam problem z ciałami skończonymi. Od listopada/grudnia zeszłego roku jestem atakowany przez różne wektory. Skończyło się na tym, że teraz mam regularne, 3-4 dniowe, terapie w szpitalu (wpompowują we mnie anty-wektory) – co trzy tygodnie. Te notkę właśnie z jednej z takich terapii piszę.
Przy okazji wykładam pielęgniarkom o ciałach skończonych. Na razie, jak widać z obrazka, demonstrują, że mają opanowane ciała o charakterystyce 2.
Po tej dygresji wracam do pól wektorowych. Przypomnę z notki „Pola wektorowe – kwestia istnienia”
Mamy zbiór M, mamy jakąś algebrę F funkcji na M o wartościach rzeczywistych, i definiujemy pole wektorowe jako „różniczkowanie algebry F”, tzn jako liniowe odwzorowanie X:F → F o własności
X(fg) = X(f) g + f X(g)
dla dowolnych funkcji f,g z F.
….
Wprowadźmy mianowicie odworowania Xi : F → F zdefiniowane jako pochodne cząstkowe
Xi = ∂ /∂ xi
tzn
Xi(f) = ∂f(x1,x2,...,xn)/∂xi
To, że tak zdefiniowane Xi są polami wektorowymi wynika z własności pochodnych cząstkowych
Wcześniej, w notce „Spacerkiem przez pola wektorowe” pokazywałem, jak pole wektorowe definiuje wektor styczny w każdym punkcie p, że pola wektorowe stanowią moduł nad algebrą funkcji (pole wektorowe można mnożyć nie tylko przez liczby lecz także przez funkcje), oraz, że można zdefiniować komutator pól wektorowych – pola wektorowe tworzą „algebrę Liego”.
Teraz trochę się w tę ostatnią własność wgłębimy.
Powiedzmy, że mamy pola wektorowe X i Y. Czyli X i Y są różniczkowaniami algebry F
X(fg) = X(f) g + f X(g), Y(fg) = Y(f) g + f Y(g)
Definiujemy komutator Z=[X,Y] jako operator liniowy na algebrze funkcji:
f -> Z(f) = X(Y(f))-Y(X(f))
Proste ćwiczenie dla (nieleniwego) licealisty: pokazać, że stąd wynika, że także Z jest wtedy różniczkowaniem algebry F.
Jeśli xi (i=1,2,...,n) jest układem współrzędnych to pochodne cząstkowe po współrzędnych w każdym punkcie tworzą bazę w przestrzeni stycznej (patrz poprzednia notka „Wektory jako obiekty geometryczne”)
Każdy wektor styczny jest zatem kombinacją liniową pochodnych cząstkowych po poszczególnych współrzędnych:
X(f) = Xi (∂f /∂ xi)(x0)
gdzie Xi = X(xi) są liczbami – nazywamy je składowymi wektora X w układzie wpółrzędnych xi, zaś x0 są tu współrzędnymi punktu p.
Zgodnie z definicją X(f) winno też być funkcją gładką. Zatem składowe Xi =X(xi) są gładkimi funkcjami współrzędnych. Na odwrót, jeśli Xi(x) są gładkimi funkcjami współrzędnych, to f → X(f) zdefiniowane powyższą formułą jest polem wektorowym.
W komentarzu miecho pod poprzednią notką padło pytanie: po co tyle różnych definicji tego samego obiektu, na przykład wektora stycznego czy pola wektorowego?
Otóż dla przykładu znalezienie formuły na komutator i sprawdzenie, że komutator dwóch pól wektorowych jest polem wektorowym jest banalnie łatwe przy definiji algebraicznej, wymaga natomiast trochę rachunków gdy pola wektorowe opisuje się we współrzędnych. Co niniejszym zobaczymy. Bowiem czasem się taki właśnie opis pól wektorowych przydaje.
Z definicji, w dowolnym punkcie o współrzędnych xi mamy
(X(f))(x) = Xi(x) (∂f /∂ xi)(x) (*)
(Y(f))(x) = Yi(x) (∂f /∂ xi)(x) (**)
Chcemy wyliczyć [X,Y], zatem musimy wyliczyć X(Y(f)) oraz Y(X(f)). działamy więc polem X na funkcję (Y(f))(x) ze wzoru (**). We wzorze tym występuje index sumowania i. Żeby nam się nie myliło z indeksem sumowania we wzorze (*) zmieniamy go na j. Indeks sumowania nazywa się czasem „niemym indeksem” (ang. dummy). Można go oznaczać dowolnym symbolem, byle się nie mylił z innymi. Piszemy więc
(Y(f))(x) = Yj(x) (∂f /∂ xj)(x)
I na to działamy polem wektorowym X podstawiając za f z formuły (*) (Y(f))(x) powyższe. Po prawej mamy jednak iloczyn funkcji i musimy skorzystać z formuły różniczkowania iloczynu:
X(Y(f))(x)=Xi(x) ∂ /∂ xi ( Yj(x) (∂f /∂ xj)(x) ) =
= Xi(x) ∂ /∂ xi ( Yj(x) ) (∂f /∂ xj)(x) + Xi(x)Yj(x) (∂2f /∂ xi∂ xj)(x)
Podobnie
Y(X(f))(x)=Yj(x) ∂ /∂ xj ( Xi(x) (∂f /∂ xi)(x) ) =
= Yj(x) ∂ /∂ xj ( Xi(x) ) (∂f /∂ xi)(x) + Yj(x)Xi(x) (∂2f /∂ xj∂ xi)(x)
Ponieważ nasze funkcje f są gładkie, drugie pochodne cząstkowe są przemienne
∂2f /∂ xi∂xj = ∂2f /∂ xj∂ xi
Zatem przy odejmowaniu człony z drugimi pochodnymi się upraszczają – to ogromny sukces. Dlatego dla pól wektorowych komutator X(Y(f))-Y(X(f)) daje nowe pole wektorowe, a antykomutator X(Y(f))+Y(X(f)) by takowego nie dał.
Otrzymujemy więc
X(Y(f)) - Y(X(f))= ( Xj ∂Yi/∂ xj - Yj ∂ Xi/∂ xj) (∂f /∂ xi)
gdzie znów podmieniliśmy niemy indeks by móc wyciagnąć (∂f /∂ xi) poza nawias. Opuściliśmy też domyślny argument (x). Tak to się w kuchni geometrii różniczkowej często robi. Możemy stąd znaleźć formułę na składowe komutatora dwóch pól wektorowych
[X,Y]i = Xj ∂Yi/∂ xj - Yj ∂ Xi/∂ xj (***)
Szczególnie prostymi polami wektorowymi są pola ∂/∂ xj – same pochodne cząstkowe. Zgodnie z ogólną formułą na składowe pola wektorowego
Xi = X(xi)
składowymi pól reprezentowanych przez pochodne cząstkowe są funkcje stałe, delty Kroneckera, bowiem
(Xi)j = ∂xi/∂ xj= δ ij
Pochodne z funkcji stałych są zerami, zatem z formuły (***) na składowe komutatora widzimy, że [∂/∂ xi,∂/∂ xj] = 0. Jednak ogólne pola wektorowe takiej własności nie mają.
W następnej notce zajmiemy się tym, co pola wektorowe „robią”. Mając pole wektorowe aż się chce zacząć rysować jego linie (trajektorie, krzywe fazowe) i rozważać „potok” takiego pola wektorowego,
Trochę przyjemnych obrazków można znaleźć w wykładzie; ”Pola wektorowe. Potoki. Stabilność. Układy dysypatywne. Atraktory dziwne” dostępnym na Politechnice Wrocławskiej.
Na przykład pola wektorowe ∂/∂ xj są polami wektorów stycznych do linii współrzędnych. Potokiem takiego pola jest wędrówka punktu wzdłuż linii danej współrzędnej przy ustalonych pozostałych współrzędnych. Ale o tym już w następnej notce.
