Czym dłużej nad moim problemem myślę, tym lepiej zdaję sobie sprawę z tego jak mało wiem i jak mało rozumiem. Tym bardziej, chwilami, sprawa wydaje się beznadziejna. A jednak: rzecz w tym, że nie rezygnując rozwijamy się. I o to przecież idzie. By rozwijać się, by dorośleć.
1Co 13:11 Gdy byłem dzieckiem, mówiłem jak dziecko, czułem jak dziecko, myślałem jak dziecko. Kiedy zaś stałem się mężem, wyzbyłem się tego, co dziecięce.
1Co 13:12 Teraz widzimy jakby w zwierciadle, niejasno; wtedy zaś [zobaczymy] twarzą w twarz. Teraz poznaję po części, wtedy zaś poznam tak, jak i zostałem poznany.
1Co 13:13 Tak więc trwają wiara, nadzieja, miłość, te trzy: z nich zaś największa jest miłość.
…
1Co 14:9 Tak też i wy: jeśli pod wpływem daru języków nie wypowiadacie zrozumiałej mowy, któż pojmie to, co mówicie? Na wiatr będziecie mówili.
1Co 14:10 Na świecie jest takie mnóstwo dźwięków, ale żaden dźwięk nie jest bez znaczenia.
1Co 14:11 Jeżeli jednak nie będę rozumiał, co jakiś dźwięk znaczy, będę barbarzyńcą dla przemawiającego, a przemawiający barbarzyńcą dla mnie.
Muszę więc zrozumieć, a to co zrozumiem muszę przekazać w zrozumiałej mowie. Inaczej będę barbarzyńcą.
W pogoni za zrozumieniem wczoraj napisałem do Jaccquesa Helmstettera, autora książki „Quadratic Mappings and Clifford Algebras”, Birkhauser 2008. Napisałem tak:
Dear Jacques,
I would like to understand the formula at the top of p. 203, (4.7.1) Definition, of your book, where you define the deformed product using the Exp(\beta_H). You have \pi_q there, so I understand that x\otimes y is in the tensor algebra.
But I was not able to find the explicit formula for the action of \beta_H on the tensor algebra of M. Can you write down for me an explicit formula for such an action? Or at least some recursive formula similar to the way one writes the formula for a derivation in a graded algebra?
I was trying to find such a formula in your papers, but did not succeed.
Thank you in advance,
ark
Czekam na odpowiedź, a w międzyczasie idę dalej. Mam bzika na punkcie eksponencjału, nie ma chyba na to szczepionki. Więc dziś przekazuję moje myśli, w sposób możliwie zrozumiały – przynajmniej dla dwóch osób moje wynurzenia czytających.
Notka niniejsza jest kontynuacją serii notek:
Ślizgawka w charakterystyce dwa
Mateusz, Pani i Pies odkrywają anty-różniczkowania
Matematyka w krainie elfów
Bourbaki a kryptografia
Lambda F: Pytia, Sokrates i Bourbaki
Śladami Zbigniewa Oziewicza
Półgrupy operatorów i mistyka
Mam rodzinę operatorów liniowych λF działających na algebrę tensorową T(V) przestrzeni wektorowej V nad ciałem K. Rodzina jest parametryzowana formami biliniowymi F: V x V → K i ma własności funkcji eksponencjalnej (patrz poprzednia notka „Półgrupy operatorów i mistyka”):
λF λG = λF+G.
λ0 = Id
Przypuśćmy, że jest to eksponencjał, przypuśćmy. Ale eksponencjał czego? Chcę zgadnąć. Zgadywacz ma w zanadrzu sposoby ( „Na sposoby są sposoby”). Zakładam więc, że ciało K jest miłe, przyjazne, nie jakieś tam skończone, na przykład, nie daj Boże, dwójkowe. Załóżmy, że ciało K to dobrze nam znajome ciało liczb rzeczywistych! Wtedy, mając formę biliniową F, rozważam formy biliniowe tF, gdzie t jest parametrem rzeczywistym. Spodziewam się, że
λtF = exp(t aF)
Wtedy, różniczkując powyższe
aF = d λtF /dt dla t=0.
Chcę oswoić teraz tak otrzymany (zgadnięty) „generator półgrupy”, operator aF. W tym celu patrzę na definicję λtF . Z definicji λF mamy:
(1) λF(1) = 1
(2) λF ex =(ex+ixF) λF, x należy do V
Podstawiamy teraz tF za F
(3) λtF(1) = 1
(4) λtF ex =(ex+ixtF) λtF
i różniczkujemy po t w t=0. Po lewej dostaniemy aFex. Po prawej trafimy na iloczyn ixtF λtF. Różniczkując ten iloczyn dostaniemy (korzystając z liniowości t ->ixtF)
d/dt (ixtF λtF)=d/dt (tixF λtF)= ixF λtF +t ixF d λtF /dt. Kładąc t=0 i korzystając z tego , że λ0=Id dostajemy
(5) aF(1) = 0
(6) aF ex = ex aF+ixF
I to jest nasza rekurencyjna definicja operatora aF, generatora jednoparametrowej grupy t → λtF.
Równanie (6) możemy zapisać jawniej korzystając z definicji operatora ex:
(6') aF(x⊗u) = x⊗aF(u) + ixF(u)
Operator aF zdefiniowany równaniami (5) i (6) wygląda bardzo miło i naturalnie. Coś głębokiego się w nim z pewnością kryje. Ma sens także wtedy gdy K jest ciałem o dowolnej charakterystyce. Chciałoby się zatem nadać sens równości exp(aF)=λF. Dla dowolnego ciała K. Jednak czy to prawda? A może myślę na wiatr i mówię na wiatr?
