Dyskutujemy z Richardem Feynmanem

Przytacza się czasem powiedzenie, pochodzące ponoć jeszcze z czasów rzymskich, że „Karły umieszczone na barkach gigantów widzą więcej niż sami giganci.” Nie zawsze tak być musi, bo karzeł może mieć oczy załzawione, ale jeśli ktoś nie ma lęku wysokości, to czemu nie spróbować? Zapraszam więc do wyprawy na barki giganta jakim był, moim zdaniem, Richard Feynman. Rzecz dotyczyć będzie pola magnetycznego i potencjału wektorowego – spraw, którymi od jakiegoś czasu się zająłem i na których staram się skoncentrować. Oglądać będziemy fragmenty słynnych Wykładów z Fizyki Richarda Feynmana, fragmenty z rozdziału 15.4 p.t. „Pole B a pole A”.

Feynman:W tym paragrafie chcielibyśmy zastanowić się nad odpowiedzią na następujące pytania: Czy potencjał wektorowy jest tylko pojęciem potrzebnym do podania przepisu użytecznego przy wykonywaniu obliczeń — tak jak potencjał skalarny użyteczny jest w elektrostatyce — czy też jest to „rzeczywiste" pole? Czy to nie pole magnetyczne jest owym „rzeczywistym" polem, gdyż ono jest odpowiedzialne za siłę działającą na poruszającą się cząstkę? Przede wszystkim musimy powiedzieć, że zwrot „pole rzeczywiste" nie ma zbyt wielkiego sensu. Nikt prawdopodobnie nie odczuwa pola magnetycznego jako czegoś bardzo rzeczywistego, gdyż w ogóle cała idea pola jest raczej abstrakcyjna.

Ja tam odczuwam pole magnetyczne jako coś bardzo rzeczywiste. Gdy staram się oderwać od siebie dwa neodymowe magnesy i za skarby świata nie mogę – nie mogę się nadziwić. Albo gdy jeden z nich skacze do drugiego usiłując połamać po drodze moje kości. Nie mogę za to zwalić winy na same magnesy, bo skąd jeden z nich miałby wiedzieć o istnieniu drugiego gdyby nie właśnie pole. - czyli coś co wypełnia (a może i współtworzy) przestrzeń pomiędzy nimi.

Feynman: Nie można wyciągnąć ręki i poczuć pola magnetycznego. Co więcej, wartość pola magnetycznego nie jest zbyt dobrze określona; dobierając poruszający się odpowiednio układ odniesienia możemy sprawdzić, że pole magnetyczne w określonym punkcie zniknie.

Nie przemawia do mnie ten argument. I co z tego, że, w danym punkcie, mogę pomyśleć o innym układzie odniesienia w którym pole odczuwane nie będzie? Tak jest z grawitacją. Gdy swobodnie spadam, wtedy grawitacja mnie do niczego nie przyciska – nie czuję jej, jestem jakby nieważki. Czy to znaczy, że grawitacja nie jest czymś rzeczywistym? Gdy wsiadam do pociągu, wydaje mi się, że pociąg stoi a ziemia ucieka. Czy ruch pociągu względem ziemi nie jest czymś rzeczywistym?

Feynman: To, co mamy tu na myśli mówiąc „rzeczywiste" pole, znaczy: pole rzeczywiste jest pewną funkcją matematyczną, którą posługujemy się, aby uniknąć idei oddziaływania na odległość. Jeżeli mamy naładowaną cząstkę w punkcie P, to inne ładunki umieszczone w pewnej odległości od tego punktu wywierają na tę cząstkę pewien wpływ. Jeden ze sposobów opisu takiego oddziaływania polega na założeniu, że inne ładunki stwarzają pewne „warunki" — czymkolwiek te warunki są — w otoczeniu punktu P. Jeżeli znamy te warunki, które opisujemy wprowadzając pola elektryczne i magnetyczne, to możemy całkowicie określić zachowanie się cząstki, bez dalszego zastanawiania się, jak te warunki powstają.

Pole „rzeczywiste” nie jest, moim zdaniem, żadną funkcją matematyczną. Funkcja matematyczna może natomiast modelować pole rzeczywiste. Czy pole wprowadzamy po to by uniknąć działania na odległość? Do pewnego stopnia tak jest, ale tylko do pewnego stopnia. Bowiem niezależnie od „działania na odległość” filozofowie od dana zastanawiali się nad tym czym jest przestrzeń i proponowali idee wypełnienia tej przestrzeni „czymś”. Idea „eteru” jest dość stara a pojęcie pola jest w jakimś stopniu formalnym urzeczywistnieniem tej idei.

Feynman: Innymi słowy, gdyby wszystkie te inne ładunki zostały w jakiś sposób zmienione, ale tak, żeby warunki w punkcie P opisane przez pole elektryczne i magnetyczne pozostały takie same, to także ruch ładunku byłby taki sam. „Rzeczywiste" pole jest więc układem liczb, które określamy w taki sposób, aby to, co się dzieje w punkcie, zależało jedynie od liczb dla tego właśnie punktu. Nie potrzebujemy wiedzieć, co dzieje się w innych miejscach. W tym właśnie sensie zastanowimy się, czy potencjał wektorowy jest polem „rzeczywistym".

Feynman uparcie chce sprowadzić pojęcie pola do czystej matematyki, do „układu liczb”. A przecież tak być nie musi.

Feynman: Można by się zapytać, czy nie sprawia jakiegoś kłopotu fakt, że potencjał wektorowy nie jest określony jednoznacznie, to znaczy, że możemy go zmienić przez dodanie gradientu dowolnego skalara, nie wprowadzając przez to żadnych zmian w siłach działających na cząstki. Nie ma to jednak nic wspólnego z zagadnieniem „realności" w tym sensie, w którym je omówiliśmy powyżej. Tak na przykład, pole magnetyczne również jest jakoś zmieniane relatywistycznie (podobnie jak E i A). Ale nie przejmujemy się tym, co się dzieje, jeżeli pola mogą się w ten sposób zmieniać. W gruncie rzeczy nie ma tu żadnej różnicy; nie ma to też nic wspólnego z tym, czy potencjał wektorowy jest właściwym polem „rzeczywiście" opisującym efekty magnetyczne, czy też jest to tylko użyteczne narzędzie matematyczne.

Nie jest to dobrze napisane. Bo gdy na przykład odległość od nas do końca pokoju zmienia się, gdy zrobimy krok, to wiemy dlaczego się zmienia. Gdy jednak zmieniamy potencjał wektorowy, zamieniamy go przez inny, przy czym oba prowadzą do tego samego pola magnetycznego, to nie rozumiemy jakiej operacji fizycznej towarzyszy ta zmiana. A chcielibyśmy wiedzieć – jeśli tylko faktycznie tak jest. Co więcej, opierając się na ideach pochodzących nie od Feynmana, można domniemywać, że te operacje zmieniające potencjał wektorowy, a nie zmieniające pola magnetycznego, mogą być „nie całkiem fizyczne”. Bowiem w potencjale wektorowym, być może (hipoteza) kodowana jest jakaś informacja a nie jakieś aspekty energetyczne. Gdy mówimy o informacji, to choć fizyka się nią interesuje, to jednak nauka o informacji do fizyki tak naprawdę nie należy. Tego rodzaju spekulacje wykraczają jednak poza horyzont umysłowy Richarda Feynmana. Richard Feynman wygląda raczej na typowego sceptyka i racjonalistę. „Dziwne” idee uznaje tylko wtedy, gdy sam jest w nie zaangażowany – a zdarzało mu się to.

Dalej następuje cytat nieco dłuższy, dotyczący tego czy potencjał wektorowy jest przydatny w obliczeniach numerycznych. Przytoczę tylko końcowe zdanie z tego fragmentu:

Feynman: Jest prawdą, że w wielu skomplikowanych zagadnieniach łatwiej jest posługiwać się polem A, ale trudno by było argumentować, że ta techniczna łatwość usprawiedliwia wprowadzenie jednego jeszcze pola wektorowego.

Maxwell wprowadził potencjał wektorowy nie dlatego, że był mu on potrzebny do obliczeń numerycznych. Wprowadził go bo czuł, że tak należy. Nie nazywał go „potencjałem wektorowym”, nazywał go „elektromagnetycznym pędem” - „electromagnetic momentum”. A że potencjał wektorowy w obliczeniach jest używany, może świadczyć na przykład praca Kevina Kunsa „Calculation of Magnetic Field Inside Plasma Chmber”. Każdy może tam zajrzeć i przekonać się, że oblicza on najpierw potencjał wektorowy a dopiero z niego pole magnetyczne. Oto co na ten temat piszą Robert Plonsey i Robert E. Collin w monografii „Principles and Applications of Electromagnetic Fields”, McGraw-Hill Company, New York 1961:

Plonsey

A tu odpowiedni fragmencik z M.V.K. Chari, S.J. Salon, „Numerical Methods in Electromagnetism”, Academic Press 2000:

Co więcej, potencjał wektorowy staje się niezwykle przydatny przy obliczanych uwzględniających warunki brzegowe. Rzecz w tym, że na granicach obszarów, gdzie mamy nieciągłości prądu – na przykład na granicy przewodnika, potencjał wektorowy jest ciągły, podczas gdy pole magnetyczne jest nieciągłe. Może to być nawet wskazówką przemawiającą za realnością potencjału wektorowego – choć to niewątpliwie kwestia gustu. Oto fragment z „Magnetism Fundamentals", E. duTremolet et al, Springer 2005:

Feynman: Wprowadziliśmy poleA, gdyż ma ono naprawdę ważny sens fizyczny. Nie tylko wiąże się z energiami prądów, jak widzieliśmy w poprzednim paragrafie, ale jest też „rzeczywistym" polem fizycznym w powyżej opisanym sensie. Jest rzeczą jasną, że w mechanice klasycznej możemy zapisać siłę działającą na cząstkę w postaci

F= q(E+vxB)

tak że jeżeli dane są siły, cały ruch jest wyznaczony. W dowolnym obszarze, gdzie poleB= 0, nawet jeśli poleAnie jest równe zeru, tak jak na przykład na zewnątrz solenoidu, poleAnie wywiera żadnego dostrzegalnego wpływu na ruch. Wobec tego wierzono przez długi czas, żeAnie jest polem „rzeczywistym". Okazuje się jednak, że są takie zjawiska kwantowe, które wykazują, że pole A jest naprawdę polem „rzeczywistym", w powyżej określonym znaczeniu.

Cóż, Feynman wydaje się tu niezbicie wierzyć w formułę na siłę Lorentza. Ale nie wszyscy fizycy tę jego wiarę podzielają. Zostawmy to jednak na razie na boku. Tak czy siak, po całej tej dyskusji dochodzi Feynman do wniosku, że potencjał wektorowy jest, w pewnym sensie, rzeczywistym polem fizycznym – bo tak się właśnie okazuje w mechanice kwantowej. Tu miałbym dwie uwagi. Po pierwsze nie wszyscy się zgadzają z tym, że mechanika kwantowa „wymaga” użycia potencjału wektorowego. Znam publikacje kwestionujące tę tezę. Po drugie istnieje też cały szereg publikacji z argumentami (popartymi nawet badaniami doświadczalnymi) w których autorzy dowodzą, że potencjał wektorowy jest ważny i „rzeczywisty” w mechanice klasycznej i w klasycznej elektrodynamice. Feynman mógł o tym nie wiedzieć, bo szereg z tych publikacji pojawiło się nie tak znów dawno.

Wreszcie dwa przykłady o które proszono mnie w poprzedniej notce. Formuły na B i na A weźmy z wykładów

Classical Electromagnetism: An intermediate level course,

Richard Fitzpatrick,

Associate Professor of Physics,

The University of Texas at Austin

Oto odpowiedni fragment:

Mając formuły nietrudno zrobić obrazek. Naniosę zarówno pole A jak i pole B w dwóch przypadkach: dwóch przewodów równoległych i dwóch przewodów skrzyżowanych. W przypadku przewodów równoległych rozbiję na przypadek prądów równoległych i antyrównoległych.

......

I tak chciałem zrobić, ale natrafiłem na problemy, których nie jestem w stanie tak od reki rozwiązać. No bo co to znaczy „nieskończony przewód”? Liczyć formalnie? Czy wziąć pętlę i jechać z promieniem tej pętli do nieskończoności? A może wziąć ramkę prostokątną – by zamknąć jakoś prąd? Czy jest pewne, że przechodząc do granicy, odsuwając resztę ramki do nieskończoności, wynik nie będzie zależał od kształtu? Wcale nie jestem tego pewien. Mam więc zadanie domowe do odrobienia.

Mógłbym oczywiście skorzystać bezmyślnie z powyższego wzoru z logarytmem, ale ten wzór wydaje mi się podejrzany. Szperając w podręcznikach i w sieci – niczego odpowiedniego na chybcika nie znalazłem.

Link do Wikipedii "Vector potential"