Przestrzeń dwójkowa

 

Porozmawiamy o geometrii dwójkowej. Arytmetyka modularna modulo 2 zna tylko dwie liczby: 0 i 1. Brak sygnału i sygnał – jak bywał mawiać Stanisław Heller. Arytmetyka modulo 2 jest niezmiernie prosta:

 

Dodawanie:

 

0+0 = 0

0+1 = 1+0 = 1

1+1 = 0

Te reguły dodawania są podobne jak to mamy w dodawaniu liczb parzystych i nieparzystych: parzysta+parzysta=parzysta, parzysta+nieparzysta=nieparzysta, nieparzysta+nieparzysta=parzysta.

Mnożenie:

 

0x0 = 0

0x1 = 1x0 = 0

1x1 = 1

 

Od takiej powinno się zaczynać naukę w przedszkolu. Dzielenie jest też proste. Przez 0 dzielić nie wolno. Natomiast

 

0/1 = 0

1/1 = 1

 

Podobnie z liczbami ujemnymi. Jeśli -x zdefiniujemy równaniem (-x) +x = 0, to -1 = 1. Zabawne.

 

Możemy rozważyć dwójkową płaszczyznę. Punkt na płaszczyźnie to para liczb. A że mamy do dyspozycji jedynie 0 i 1, to płaszczyzna nasza ma cztery punkty: (0,0), (0,1),(1,0),(1,1).

 

Możemy też rozważyć przestrzeń trójwymiarową. Ta ma osiem punktów (= 2³):

 

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)

 

Na grubo zaznaczyłęm początek układu współrzędnych: (0,0,0).

 

Po narysowaniu będziemy mieli osiem wierzchołków sześcianu.

 

W naszej trójwymiarowej przestrzeni binarnej możemy rozważyć linie przechodzące przez początek układu współrzędnych. Będziemy mieli siedem takich linii. Będą łączyć punkt (0,0,0) z pozostałymi siedmioma punktami, (0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1).

 

Tyle, że trzeba ostrożnie: my mówimy „linia” i nawet możemy sobie rysować linię. Ale w geometrii dwójkowej linia to po prostu para punktów, np. linia {(0,0,0),(1,0,0)}. Bo innych punktów „pomiędzy” w naszej geometrii nie ma. Jest osiem punktów i kwita. Zatem jest też siedem linii przechodzących przez początek układu współrzędnych.

 

Liczbę siedem już skądś znamy, nieprawdaż? Choćby z poprzednich notek!

 

Uwaga: linie naszej geometrii dwójkowej będą punktami geometrii Fano z poprzednich notek.

Możemy też, w naszej trójwymiarowej dwójkowej przestrzeni rozważyć płaszczyzny przechodzące przez początek układu. Co to jest płaszczyzna? A to jest to, co jest rozpięte na dwóch (niewspółliniowych) wektorach. Weźmy na przykład wektor a startujący z (0,0,0) i kończący się w (0,1,0). Weźmy drugi wektor, b, też startujący z (0,0,0) i kończący się w (0,1,1). Te wektory rozpinają płaszczyznę. W tej płaszczyźnie będzie zatem także leżeć suma tych dwóch wektorów.

 

Korzystając z dodawania modulo 2 mamy, że

 

a + b = (0,1,0)+(0,1,1) = (0,0,1)

 

Nasza płaszczyzna zawiera więc prócz punktów (0,1,0) i (0,1,1) także punkt (0,0,1). I to wszystko – żaden inny punkt naszej trójwymiarowej dwójkowej przestrzeni w tej płaszczyźnie nie leży!

 

Licząc różne płaszczyzny doliczymy się ich siedmiu.

Uwaga: płaszczyzny naszej geometrii dwójkowej będą liniami geometrii Fano z poprzednich notek. Omówię to bliżej w następnej notce.

Zadanie: Proponuję wyliczenie tych siedmiu płaszczyzn poprzez wyliczenie trójek punktów na nich leżących.