Horror vacui

Zaczęło się od liczb naturalnych, na początku jeszcze bez zera: 1,2,3,.... Te można było mnożyć jedna przez drugą i dodawać. Chciałoby się jednak też dzielić. Więc powstały dodatnie liczby wymierne 1/2,2/3, 3/8 …. Chciałoby się jednak też odejmować. Więc powstały liczby ujemne, no i zero. Mamy więc liczby wymierne. Ale zbiór liczby wymiernych jest dziurawy. Brak na przykład takiej liczby wymiernej, której kwadrat byłby równy 2. Przychodzi „Horror vacui” - obawa przed pustką. I powstają liczby rzeczywiste.

Z Wikipedii:

Horror vacui (z łac. "lęk przed pustką")

– w fizyce: historyczny pogląd, oparty na wywodach starożytnych filozofów greckich (zwłaszcza Arystotelesa), polegający na stwierdzeniu, że osiągnięcie próżni nie jest możliwe, gdyż przyroda w sposób naturalny i fundamentalny temu przeciwdziała;

– w sztuce: tendencja przejawiająca się w tworzeniu dekoracji zapełniających całą powierzchnię obiektu, bez pozostawiania pustego tła, spotykana w sztuce wielu kultur, np. u Celtów, Indian czy w sztuce islamu i baroku (w przeciwieństwie do tzw. amor vacui, tj. umiłowania pustej przestrzeni, obecnego m.in. w sztuce rokoka).

Ale liczby rzeczywiste są nadal jakieś niedoskonałe. Prawda, że możemy teraz wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z 2, ale nie możemy rozwiązać prostego równania

x²+1 = 0

Zbiór rozwiązań tego równania w dziedzinie liczb rzeczywistych jest pusty. Znów „horror vacui” i tak powstają liczby zespolone. Rzecz załatwia dołączenie jednego symbolu: i =√(-1) i prostych operacji na wyrażeniach postaci z = x + yi. Teraz już mamy już ciało i to „algebraicznie domknięte”.

Liczby zespolone są piękne, niemal absolutnie piękne. Ale ….

Chciałoby się podzielić 1/z, i tu wychodzi problem! W poprzedniej notce, w komentarzu, pokazywałem wyniki niektórych działań na liczbach zespolonych posługując się fotką położoną na płaszczyźnie liczb zespolonych z zerem umieszczonym pośrodku fotki. Oto fotka oryginalna:

jesien

A oto wynik zastosowania przekształcenia z → 1/z zastosowanego do tej fotki:

1/z

W środku mamy pustkę. Skąd się ona wzięła? Otóż mój wyjściowy obrazek umieściłem w kwadracie liczb zespolonych z = x + iy, -2 < x,y < 2. Dalej nic nie ma – pustka. Nie ma więc czym wypełnić otoczenia zera, które powstaje przez dzielenie 1/z.

Oczywiście mógłbym to wypełnić sztucznie propagując mój wyjściowy obrazek okresowo (z odbiciami, żeby była ciągłość.

periodic reflected padding

Wynik transformacji z → 1/z wyglądałby lepiej:

Pustka zostałaby wypełniona powtórzeniami – na tyle na ile pozwala na to rozsądna rozdzielczość. Byłoby to jednak nie całkiem fair. Faktem jest, że dalej mamy pustkę dla 1/0, oraz, że równanie

0 = 1/z

nie ma rozwiązania. Horror vacui. Trzeba coś zrobić. I tu mamy dwie szkoły: jedni wprowadzają liczby „nieskończenie wielkie” i „nieskończenie małe” - uciekając w "nadrealizm". Inni wybierają zamknięcie płaszczyzny zespolonej jednym punktem"∞", zamykając ją w sferę – sferę Riemanna.

Wybiorę tę drugą metodę (choć surrealizm w zasadzie lubię). I odtąd tą właśnie drogą pójdziemy. Mamy algebraicznie domknięte ciało liczb zespolonych, a gdy wymaga tego geometria – traktujemy płaszczyznę zespoloną jak obraz (stereograficzny) sfery. Płaszczyzna zespolona to płaska mapa sfery – bez jednego punktu. Oczywiście map sfery jest wiele – uczą tego na lekcjach geografii. Ale dla matematyki mapa stereograficzna w zasadzie wystarcza.

W kolejnej notce zajmiemy się szczególnymi przekształceniami płaszczyzny zespolonej, w szczególności tym 1/z – by dojść w końcu, po koniecznym przygotowaniu, do innej wersji paradoksu Banacha-Tarskiego – już nie lękając się pustki.