Symplektyczne jaja

Uczę się operować koparką. Są tam pedały, drążki sterujące. Trzeba to sobie zaprogramować w połaczeniach nerwowych przez praktykę. Ale podręcznik też się przydaje. Podręcznik zaczyna się od ostrzeżeń. Na przykład:

 

 

Oczywiście takie ostrzeżenia są jedynie wskazówką. Bo kto doświadczony, ten , kiedy trzeba, podeprze się ramieniem koparki i, na krótkim odcinku, próg 25 stopni prezekroczy bez wypadku.

 

 

Podobnie jest z wielbłądem. Napisane jest w podręczniku, że wielbłądowi nie dane jest by przejść ucho igielne. I to prawda, dla normalnych wielbłądów. Ale doświadczony wielbłąd, z doświadczonym operatorem, przez ucho przejdzie mimo zakazów.

 

Sądzę, że dotyczy to także wielbłądów symplektycznych i symplektycznych jaj. M.in. za matematyczne twierdzenie o niemożliwości przejścia symplektycznego wielbłąda przez ucho igielne w przestrzeni fazowej dostał matematyczną nagrodę Nobla (Nagroda Abela) Michaił Gromow. W polskiej Wiki jest jedynie „za rewolucyjny wkład w dziedzinie geometrii”. Gdzie indziej znajdziemy:

 

„Gromovs name is forever attached to deep results and important concepts within Riemannian geometry, symplectic geometry, string theory and group theory. The Abel committee says: “Mikhail Gromov is always in pursuit of new questions and is constantly thinking of new ideas for solutions of old problems. He has produced deep and original work throughout his career and remains remarkably creative. The work of Gromov will continue to be a source of inspiration for many future mathematical discoveries“.

 

  Jeden z komentarzy pod tym video:

 

Ale dość jaj. Przejdźmy do rzeczy. A rzecz dotyczy mechaniki. Tak klasycznej jak i kwantowej. Mechanika klasyczna przydaje się w astronomii i w operowaniu koparką. Zachwalać jej nie trzeba. Mechanika kwantowa przydaje się do pełni szczęścia.

 

 

W mechanice jest kilka formalizmów. Jest stary szkolny formalizm Newtona: siła równa się masa razy przyśpieszenie. Jest formalizm Lagrange'a, gdzie operujemy położeniami i prędkościami (jak trzeba, to „uogólnionymi”). Jest też formalizm Hamiltona, gdzie areną jest „przestrzeń fazowa”, współrzędnymi na arenie są pędy i położenia. Tak mniej więcej pęd to masa razy prędkość, ale tylko „tak mniej więcej”, bowiem pęd wydaje się mieć niezależny byt. Pędy są dodatkowymi wymiarami. Położenia odpowiadają za statyczny punkt widzenia, pędy za dynamiczny. Położenie i pęd są komplementarne do siebie. Ruch to nie po prostu zmiana położenia w czasie. Ruch to ruch. Czas płynie dzięki temu, że postrzegamy ruch.

 

Przestrzeń fazowa ma swoją geometrię. Geometria ta nosi nazwę „geometrii symplektycznej”. Ta wydaje się być czymś nawet bardziej pierwotnym od geometrii Riemanna, tej którą Einstein powiązał z grawitacją. Jest coś pierwotniejszego i ważniejszego niż Einsteinowska grawitacja. Co to takiego? Sądzę, że ma to związek z ziarnistą strukturą bytu, z geometrią symplektyczną, z naturą światła.

 

 

W mechanice liczymy stopnie swobody. Jedna cząstka na prostej – to jeden stopień swobody. Na płaszczyźnie – dwa stopnie swobody. W przestrzeni – trzy stopnie swobody. Dwie cząstki w przestrzeni – sześć stopni swobody. I tak dalej. Dla jednego stopnia swobody podstawą geometrii symplektycznej jest macierz

 

J =

 

[0 1]

[-1 0]

 

Dla n stopni swobody zamiast jedynek mamy macierze jednostkowe nxn:

 

J =

 

[0_n I_n]

[-I_n 0_n]

 

Śliczne, nieprawdaż? Ale jakie wredne! I w tą wredność będziemy wchodzić. Idzie o to by symplektyczne jajo wcisnąć w butelkę. Da się – jeśli użyjemy Pepsi-Coli.