Symetria - moja miłość

W poprzedniej nocie pisałem o prostej. Prosta to pojęcie, nie byt. A jeśli byt, to byt bytujący w świecie idealnym. Istnienia tego świata idealnego nie da się zaprzeczyć. Zagadką jest jednak gdzie ten świat umieścić. W naszych umysłach? Czym są jednak nasze umysły? Czyż nie są częścią tego świata idealnego? Faktem jest, że od zarania dziejów porządkujemy. Mamy poczucie porządku w odróżnieniu od chaosu. Świat wyłonił się z chaosu, czynnikiem porządkującym był czyjś zamysł. Tak to jest przedstawiane w mitach, filozofii, w religiach.

Obserwując rzeczywistość wokół nas zauważamy, że to poczucie porządku jest różne u różnych ludzi. Podczas gdy jedni lubią porządek, inni lubią bałagan. Nie tylko po prostu lubią bałagan. Więcej, niszczenie porządku sprawia im niekłamaną przyjemność. Przypuszczalnie wynika to, w znacznej mierze, z uwarunkowań genetycznych. Nauka będzie miała w tych sprawach jeszcze wiele do powiedzenia. W mitach i w religiach spotykamy dobre i złe duchy. Boga i szatana. Wygląda na to, że porządek nie może wręcz istnieć bez swego adwersarza, chaosu.

To powiedziawszy wracam do linii prostej i będę kontynuował po linii konwencjonalnej, tak jak to czynili artyści i konstruktorzy od zarania dziejów. Interesować nas dziś będą dwa elementy symetrii linii prostej: symetria względem odbicia i symetria translacyjna. Poświęca tym sprawom sporo miejsca Hermann Weyl w swojej pięknej książce „Symetria” (nakład wyczerpany, do kupienia na Allegro). Symetria względem odbicia ilustrowana jest elementami sztuki sumeryjskiej (ok. 2500 p.n.e.)

 

 

 

A oto inny przykład symetrii względem odbicia, z tych samych mniej więcej czasów.

 

 

 

Chcąc wychwycić o co tu chodzi, pozbywamy się wszystkiego, co zbędne. Pozostawmy zatem prostą i zamieszkujące tę prostą punkty. Czy odbicie to coś takiego?

 

 

 

Raczej nie. To jest dwa razy ta sama prosta, tyle, że raz widziana z jednej a raz z drugiej strony. Aby nastąpiło odbicie, odbicie musi nastapić względem czegoś nieruchomego. Albo należy odbić punkty, a podziałkę pozostawić jak jest, albo odbić podziałkę a pozostawić punkty. Pierwsze nazywa się symetrią aktywną, drugie pasywną. Wynik jest ten sam:

 

 

 

Każdy punkt o współrzędnej x przeszedł w punkt o współrzędnej -x. A że zaznaczyliśmy tylko trzy wyróżniające się punkty, więc tylko ich przejście widzimy.

Prócz symetrii względem odbicia w przyrodzie i w sztuce widzimy także symetrię translacyjną. Weyl znów ilustruje to obrazkiem z czasów sumeryjskich:

 

 

 

Jeśli łuczników przesuniemy o 3.5 jednostek na skali w prawo lub w lewo, nie zobaczymy róznicy.

Podczas gdy odbicie względem umownego początku (x=0) możemy zapisać jako transformację

P(x) = -x

to translację o a zapisujemy jako

T_a(x) = x+a.

T_a to operacja translacji (bardziej po polsku: przesunięcia). Operując na punkt o współrzędnej x przeprowadza go w nowy punkt, o współrzędnej x+a.

Przesunięcie a może być liczbą dodatnią lub ujemną. Gdy a jest dodatnie, przesuwamy punkty w prawo, gdy a jest ujemne – w lewo. Przykładem w którym widzimy symetrię zarówno względem odbicia jak i względem translacji jest ta mikrofotografia atomów węgla w graficie.

 

 

Jak widać te atomy mają jakby wbudowane komputerki, które mówią im jak się zachować przyzwoicie. Czy ten wzór to wymysł ludzkiego umysłu, czy też naprawdę jest jakiś ukryty porządek w przyrodzie?

A jeśli ukryty, to gdzie i jak? Skąd pochodzi? Atejiści maja z odpowiedzią podobne te pytania spore problemy choć sądzą, że są z lepszej gliny ulepieni. Ich odpowiedzią jest, że zadający takie pytania naukowcy świrują, że należy wrócić do chaosu, żyć w zgodzie z naturą jak na dobrą świnkę przystało, no i dac się zjeść silniejszemu. Nie pytać, nie dochodzić, nie dociekać.

W kolejnym odcinku pobawimy się trochę poznanymi dotychczas transformacjami, zbadamy ich własności oraz wprowadzimy dwie nowe, niezmiernie ważne transformacje punktów na prostej.

 

 

cdn