Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
22953
BLOG

Elipsy i ich równania

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 17

 

Jest anioł geometrii i jest diabeł algebry. Jeden bez drugiego obejść się nie może. Diabła dotąd omijałem z daleka, czas jednak by go wprowadzić na scenę. Zrobię to jednak łagodnie, krok za krokiem, by nie wywołać paniki.
 
Weźmy prostą elipsę, taką jak ta:
 
[Image]
 
Elipsa ta ma dwie półosie: półoś poziomą, a, o długości 1.5, oraz oś pionową, b, o długości 2. Będę pisał po prostu a=1.5, b=2.
 
Elipsę tą możemy przedstawić równaniem:
 
x2/a2 + y2/b2 =1,
 
a konkretnie, w przypadku na obrazku:
 
0.44444 x2 + 0.25 y2 =1.
 
Gdybyśmy mieli a=1 i b=1, byłoby to równanie okręgu x2 + y2 =1.. Gdy a jest różne od b, mamy elipsę z prawdziwego zdarzenia. Jeśli chcemy taka elipsę narysować używając jakiegoś programu komputerowego rysującego grafy funkcji, dobrze jest taką elipsę przedstawić w postaci parametrycznej, w biegunowym układzie współrzędnych (r, phi) gdzie
 
x = r cos(phi)
y = r sin(phi)
 
Równanie elipsy ma wtedy postać
 
x = a cos(phi)
y = b sin(phi)
 
zaś phi zmienia się od 0 do 2 Pi, lub od -Pi do Pi – jak kto woli.
 
Co będzie jednak gdy naszą elipsę obrócimy, np. o 45 stopni w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Wyjdzie obrócona elipsa:
 
Elipsa obrócona
 
Jakie równanie przedstawia tą obróconą elipsę? Otóż przedstawia ją równanie:
 
0.347222 x2 - 0.194444 x y + 0.347222 y2 = 1.
 
Oprócz kwadratów pojawił się także człon z iloczynem xy. I tak będzie przy obrocie o dowolny kąt (no, chyba, że kąt obrotu wyniesie 90 lub 270 stopni - wtedy x i y po prostu zamienią się miejscami ). Równanie każdej elipsy (o środku w początku układu współrzędnych) ma postać:
 
Ax2 + 2B xy + C y2 =1.
 
Wygodnie jest napisać współczynnik przy xy jako 2B a nie po prostu B. Dlaczego tak jest wygodnie? To się wkrótce okaże.
 
Pojawiają się natychmiast dwa pytania:
 
  1. Czy każde równanie postaci Ax2 + 2B xy + C y2 =1 przedstawia elipsę?
  2. Jeśli równanie przedstawia elipsę, to jak ze współczynników A,B,C odczytać długość półosi tej elipsy i kąt o jaki została obrócona.
 
By odpowiedzieć na te dwa pytania będziemy musieli oswoić się nieco z diablikiem algebry, konkretnie z macierzami, tym samym diablikiem z którym mieliśmy już okazję się spotkać przy okazji dyskutowania „Początku, który jest wszędzie.”
 
Z równaniem Ax2 + 2B xy + C y2 =1 zwiążemy macierz kwadratową o dwóch wierszach i dwóch kolumnach:
 
[A B]
[B C]
 
Z tej macierzy wszystko da się odczytać, na obydwa pytania odpowiedzieć. Bez macierzy ani rusz nie da się dyskutować ani geometrii Riemanna ani krzywizny ani kwantów ani grawitacji. Diabeł, który wymyślał i wprowadzał do obiegu macierze pewnie nawet nie zdawał sobie sprawy z tego jak Belzebuba to ucieszy!

 

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura