Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
194 obserwujących
1490 notek
3523k odsłony
  692   0

Elipsoidalne fikania

Niniejsza notka jest kontynuacją notki Bąk nad Sekwaną Dalej analizujemy zmianę w czasie wektora prędkości kątowej swobodnej bryły sztywnej. Podpieramy się przy tym obrazkiem z wykładu Lesiaka:

Elipsoidalne fikania

By było konkretnie bierzemy bąk asymetryczny z IX = 3, IY = 2, IZ = 1. Trajektorie wektora ω biegną na przecięciu dwóch elipsoid: elipsoidy stałej wartości krętu J2 i stałej wartości energii. Jak te trajektorie wyglądają?

Przypomnijmy z poprzedniej notki, że dla elipsoidy stałego krętu długości półosi wynoszą:

a = √(J2) /IX, b = √(J2) /IY, c = √(J2) /IZ

Zaś dla elipsoidy stałęj energii kinetycznej

a = √(2T/IX) , b = √(2T/IY) , c = √(2T/IZ).

Gdy J2 jest dane, energia kinetyczne nie może być zbyt mała. Inaczej elipsoidy się nie przetną, ruch będzie niemożliwy. Najmniejsza wartość energii kinetycznej jest wtedy, kiedy najkrótsza półoś elipsoidy energii jest równa najkrótszej półosi elipsoidy krętu:

√(J2) /IX = √(2T/IX)

czyli 2Tmin = J2/IX

Największa możliwa energia to taka, gdy najdłuższa półoś elipsoidy energii równa jest najdłuższej półosi elipsoidy krętu:

2Tmax = J2/IZ

Pomiędzy tymi skrajnymi wartościami energii kinetycznej leży wartość specjalna:

2Tspec = J2/IY

By być konkretnym, weźmiemy J2 = 10. Wtedy, zakładając IX = 3, IY = 2, IZ = 1, mamy

2Tmin = 10/3 = 3.333.., 2Tmax = 10/1 = 10, 2Tspec = 10/2 = 5

Czas na rysunki i na omówienie tego co się dzieje. Przy maksymalnej energii kinetycznej nasz asymetryczny bąk obraca się względem najdłuższej osi (o najmniejszym momencie bezwładności). Dwie elipsoidy stykają się jedynie w dwu punktach. Wektor prędkości kątowej jest stały. Niby mówi się o tym, że jest to sytuacja stabilna, ale bąk gdy tylko będzie miał okazję to się swojej energii kinetycznej pozbędzie. Oto obrazek dla 2T=10-0.2, czyli gdy się pozbył 0.1 energii kinetycznej:

Elipsoidalne fikania

Ta niebieskawa elipsoida, to elipsoida stałego krętu, ta czerwonawa, tu pękata, to stałej energii. Widać, że oś obrotu podlega małej precesji, albo wokół jednego bieguna na długiej osi, albo wokół drugiego – to te dwa kółka. Z obrazka nie wiemy jak długo taka precesja trwa.

Druga skrajność to stabilny obrót wokół najkrótszej osi. W jedną lub w drugą stronę. Energia kinetyczna jest wtedy najmniejsza, już mniejsza, przy danej wartości krętu, być nie może. Zanim jednak stanie się najmniejszą, przedtem jest stadium precesji wokół najkrótszej osi, jak na obrazku poniżej dla 2T = 3.333+0.1


Elipsoidalne fikania

 

A co pomiędzy tymi skrajnościami? Pośrodku między tymi skrajnościami jest obrót wokół środkowej osi. Dla 2Tspec = 5 dwie elipsoidy, elipsoida krętu i elipsoida energii przecinają się wzdłuż dwóch elips:

Elipsoidalne fikania

Oś obrotu wędruje od jednego bieguna do drugiego bieguna, po połowie elipsy. Z obrazka tego nie widać, Mogłoby wyglądać, że oś obrotu wędruje po elipsie. Jednak czas przejścia od jednego bieguna do drugiego okazuje się być nieskończonym. Czyli w skończonym czasie do bieguna nie dojdzie. Całe życie bąka to jeden długi fik, bez końca. Na obrazku mamy więc cztery fiki.

Dobrze jest zobaczyć co się dzieje w przypadku gdy energia kinetyczna jest trochę większa lub trochę mniejsza od tej pośrodkowej. Dla trochę większej mamy:

Elipsoidalne fikania

Taki fik od prawie jednego bieguna środkowej osi do prawie drugiego bieguna tej osi, i tak w kółko – fikanie bez końca.

Podobnie dla trochę mniejszej od pośrodkowej
Elipsoidalne fikania

Też fikanie bez końca, tyle, że inna trajektoria. Jak długo trwa taki jeden fik – tego z obrazka nie widać, trzeba na to innych metod.

Tymi innymi metodami zajmiemy się w dalszym ciągu. Zauważmy jednak, że latającego bąka możemy zobaczyć na filmie Prawdziwy Geniusz:

Elipsoidalne fikania 1:1

Choć na tym filmie żyroskopy występują co najwyżej w układach naprowadzających lasery. 

 

 

 

Lubię to! Skomentuj20 Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie