Nieudana pętla mjr. Macieja Krakowiana - analiza pętli kołowych

W dniu 28.08.2025 doszło do kolejnego CFITu (zderzenia z ziemią w wyniku lotu kontrolowanego przez pilota) samolotu wojskowego RP, tym razem w trakcie manewru akrobacji podstawowej zwanego pętlą. Zaprezentuję tu moje komentarze i uproszczoną analizę fizyczną oddającą najważniejsze aspekty wypadku. W następnym odcinku rozciągnę zasadniczo te same wnioski na pętle niekołowe i z dodatkami poziomych odcinków na szczycie.

FIGURA AKROBACJI LOTNICZEJ ZWANA PĘTLĄ

Pętlę wykonujemy poruszając się cały czas w płaszczyźnie pionowej, zwiększając ciągle pochylenie samolotu. Stała się gwoździem programu pokazów lotniczych w Berlinie i w Moskwie dosłownie w miesiąc czy dwa po tym, jak pierwszą 'martwą' pętlę zrobił pod Kijowem we wrześniu 1913 r. samolotem Nieuport IVG, produkowanym masowo w Rosji na licencji francuskiej Пётр Николаевич Нестеров, 26-letni oficer cara. Za swawolę Niestierow najpierw został osadzony w karcerze, lecz wkrótce wypuszczony i nagrodzony. Zapoczątkował bowiem akrobację lotniczą. Do dziś nadawane są w tej dziedzinie sportu medale jego imienia.

https://planets.utsc.utoronto.ca/~pawel/PHYD38/Nesterov-loop.png

O pętlach mówiłem już dokładniej w moim blogu:

https://www.salon24.pl/u/fizyka-smolenska/876485,aerobatyka-nie-probowac-niemozliwego

i pokazywałem jak je wykonuję w innym odcinku bloga:

https://www.salon24.pl/u/fizyka-smolenska/931980,aerobatyka-praktykujemy

Piotr Niestierow (1887-1914) wiedział z teorii aerodynamiki stworzonej przez Mikołaja Żukowskiego w 1891 r., że pętla jest możliwa. Rozpędził się do odpowiedniej prędkości i rozpoczął pętlę na bezpiecznej wysokości ok. 600 m. Do sprawy bezpiecznej wysokości, jak i wymiaru quasi-politycznego wypadku wrócimy na krótko pod koniec.

Poniżej zaprezentuję dwa modele kołowej pętli. Wykażą one, że w takiej pętli, niezależnie od tego czy ciąg silnika równoważy opór ruchu, czy też jest stały (co wydaje się być prawdą w Radomiu), pętla kołowa nie wiedzie ani do przeciążeń ponad 9g (w tych warunkach ingerowałaby automatyka F-16 i rozluźniła pętlę z negatywnym skutkiem na jej pomyślne zakończenie), ani do przeciągnięcia samolotu, a nawet kątów bliskich krytycznemu.

PĘTLA PRZY EFEKTYWNIE ZEROWYM OPORZE CZOŁOWYM

Przyjrzyjmy się najprostszemu przykładowi. Najprostszemu do analizy, ale nie do wykonania! W tej idealnej pętli samolot porusza się po okręgu, a silnik równoważy w każdej chwili siły oporu. To wymagałoby wielkiej precyzji sterowania mocą - bardziej realistyczny model podam poniżej. Zależność prędkości od wysokości otrzymujemy wprost z: (a) zasady zachowania energii, (b) wymagania kołowej trajektorii, oraz (c) wymagania by odczuwalne obciążenie u szczytu pętli było zerowe (tak bowiem faktycznie robiono dawniej, i często robimy nadal pętle, osiągając na szczycie nieważkość).

Oznaczmy przez v₀prędkość na początku (czyli na dole) pętli, zaś na górze pętli v₁. Promień pętli to R.

W przypadku F-16, typowo wchodzi się do pętli z prędkością 350 węzłów:

v₀ = 350 kt = 180 m/s.

Dlaczego? Ma to swoje uzasadnienie związane ze zjawiskiem przeciągnięcia (stall). Najpierw jednak odnajdźmy związek v0 i R

w rozpatrywanej pętli o stałym promieniu R. Jeśli φ to kąt pozycyjny samolotu liczony od dołu pętli (czyli φ₀ = 0, na szczycie pętli φ₁ = π, a na końcu pętli φ = 2π), to z zasady zachowania energii całkowitej prędkość v zależy od kąta pozycyjnego φ w ten sposób:

v²/2 + g h(φ) = v₀²/2, gdzie h(φ) = R (1 – cos φ) jest wysokością nad punktem początkowym pętli. To daje prędkość v, w dowolnym punkcie o położeniu kątowym φ:

v² = v₀² – 2 g R (1 – cos φ) . (1)

W punkcie szczytowym ("1") mamy

v₁²= v₀² – 4 g R. (2)

Czynnik obciążenia to suma przypieszeń w kierunku lokalnego pionu pilota, wyrażona w jednostkach g = 9.81 m/s². Uwzględniając (1), wynosi on

n(φ) = v²/(gR) + cos φ = v₀²/ (gR) –2 + 3 cos φ (3)

gdzie v²/gR to wkład jest od siły odśrodkowej, a (cos φ) od przyciągania ziemskiego. Na przykład, w punkcie 1 wynosi n=0, skąd otrzymujemy

v₁² = g R. (4)

Łącząc (2) i (4) dostajemy poszukiwany związek między pr. początkową a promieniem pętli:

v₀² = 5 g R, lub jak kto woli, R = v₀² /5 g. (5)

Prędkość minimalna lotu F-16 z niewypuszczonymi klapami i podwoziem, gdy przepływ powietrza zaczyna odrywać się od płata, przy n=1 wynosi

v_S1 = 110 węzłów.

Z aerodynamiki wiemy, że pr. przeciągnięcia zależy od n jak n^1/2. Zatem w ogólności prędkość przeciągnięcia, albo minimalna prędkość lotu pod obciążeniem n, na podstawie (3) i (5), równa jest w dowolnym punkcie pętli

v_S= v_S1 (3 + 3 cos φ)^1/2, przy n (φ) = 3 + 3 cos φ. (6)

Na dole pętli kołowej przeciążenie zawsze jest równe dokładnie 6 (w tym 5 od siły odśrodkowej, a 1 od przyciągania). W punkcie dolnym (na początku i na końcu figury) przeciągnąć jest najłatwiej. Wartość stall speed zależy od v_S1samolotu. Maksymalna v_S= v_S16^1/2= 270 kt = 138.6 m/s w F-16.

I tu dochodzimy do tego, dlaczego pilotom rekomenduje się 350 węzłów jako zalecaną prędkość wejścia w pętlę: 350 kt jest o czynnik bezpieczeństwa 1.30 większe niż 270 kt! [1.30 to często używany mnożnik; na podejściu do lądowania, poza pasem, piloci każdego samolotu starają się lecieć nie wolniej niż 1.30 razy prędkość przeciągnięcia na opuszczonych klapach].

Ponieważ R jest powiązane z v₀, wnioskujemy z (5), że minimalny promień odpowiadający 270 węzłom równy jest R = 393 m, a rekomendowany, odpowiadający prędkości 350 węzłów na dole i 157 kt na górze pętli, równy jest 661 m. Średnica pętli w najprostszym modelu to 1322 m, tzn. 4330 ft (stóp). Czas lotu przy omówionych założeniach można otrzymać z analitycznej całki (czas T jest wprost proporcjonalny do v₀) i otrzymać T ~ 33 s, co jest czasem o 1/6 dłuższym niż zaobserwowany w tym wypadku.

ANALIZA PĘTLI KOŁOWEJ O STAŁYM CIĄGU SILNIKA

Rozpatrzmy teraz nieco bardziej realistyczny scenariusz wypadku w Radomiu, motywowany tym, że na wideo całej pętli widoczny jest niezmienny lub niewiele zmienny ogień z dopalacza F-16. Zatem przyjmiemy, że nie było dużych zmian ciągu. Zmieniał się jednak znacznie opór ruchu wzdłuż trajektorii. Ponieważ dosłownie brakowało ~35 metrów do domknięcia kołowej trajektorii (to niewiele w por. z R równemu co najmniej 660 m), możemy prześledzić najpierw hipotetyczną, poprawną, czyli kołową trajektorię, a później zastanowić się, co zostało źle wykonane, tak że faktyczna trajektorią przecięła pod niewielkim kątem pas startowy. I co z tym fantem robić w przyszłości.

Jaki był promień R? Najprawdopodobniej pilot trenował pętle o zamierzonej średnicy 2R = 4500 ft = 2*686 m. To wartość trochę większa niż omawiane poprzednio 2*660m, lecz niewiele. Motywacja by robić pętle nieco większą (co wymaga nieco mniejszych przeciążeń) zbiega się tu z potrzebą pamiętania średnicy pętli wyrażonej prosto w stopach, najlepiej okrągłą liczbą setek stóp, tak by można było łatwo kontrolować przebieg akrobacji posługując się baro-wysokościomierzem. Przyjmujemy R = 686 m = 4500 ft /2. Natomiast pozostawimy prędkość początkową na typowo stosowanej wartości 350 węzłów (180 m/s).

W przypadku stałego ciągu i zmiennego oporu, energia mechaniczna nie jest zachowana i musimy rozwiązać (numerycznie) następujące równanie ruchu.

R d²φ/dt² = –g cos(φ) + (T–D)/M,

gdzie g i R mają omówione już znaczenie (przysp. graw. i promień krzywizny = promień kołowej pętli), M = masa samolotu, zaś T i D są, odpowiednio, siłą ciągu silnika i zmienną siłą oporu aerodynamicznego.

Samolot waży od 8.9 (bez paliwa i pilota) do 16.8 ton siły. Przyjmijmy M = 15000 kg. Ciąg silników bez dopalacza i z dopalaczem jest równy maksymalnie 79 i 129 kN (silnik: Pratt & Whitney). Nie znamy dokładnej wartości obranej przez pilota, ale wiedząc, że nie należy używać do akrobacji ciągu maksymalnego, przyjmiemy, że wynosił 9.5 T,

T = 9500 * 9.81 N = 93 kN.

Z oporem aerodynamicznym jest sytuacja o tyle złożona, iż składa się z oporu formy (parasitic drag ~ v²) i oporu indukowanego, zależnego od kąta natarcia, a zatem i prędkości (gdy n=1 to ten opór ~ 1/v², ale...). Opór pierwszego rodzaju przeważa, oprócz okolic punktu dolnego pętli. Przyjmę następujący Ansatz, sformułowany tak, by podkreślić że współczynnik oporu rośnie przy powiększaniu kąta natarcia i siły nośnej - czyli przy zwiększaniu czynnika przeciążenia n, co ma miejsce w pętli:

D = (1+ n/6) D₀ (dφ/dt)² (dφ₀/dt)^-2,

gdzie wielkość D₀ = Cd (ρ v₀² /2) A stanowi 6/7 siły oporu w ruchu z prędkością v₀, przy obciążeniu n=1, współczynniku oporu czołowego Cd=0.1, gęstości powietrza ρ=1.25 kg/m³, i całkowitej powierzchni skrzydeł A=28 m². [W naszym przybliżeniu fakt zadarcia dziobu samolotu i wymuszeniu siły nośnej dającej obciążenie n=6g spowoduje efektywny prawie dwukrotny wzrost współczynnika Cd siły oporu czołowego, do wartości 0.2; poza tym opór całkowity zmienia się też z kwadratem prędkości].

WYNIKI SYMULACJI

Każdy z was może napisać prosty skrypt w Pythonie i przecałkować równanie różniczkowe dynamiki zmian kąta pozycyjnego φ w czasie mniej więcej 30s. Kod, który napisałem na brudno, zamieszczam w dyskusji. Można przyjąć krok czasowy 0.001 s, wtedy błędy dyskretyzacji są nieważne. Samolot F-16 w modelu pętli ze stałym ciągiem zaczyna ją, gdy pilot pociąga szybko drążek przy prędkości 350 węzłów na siebie i wymusza odczuwalne przeciążenie 5.8g (czynnik obciążenia 5.8). To bardzo realistyczne wymaganie do zrobienia pętli! Pilotom wojskowym wytrenowanym do akrobacji lub walki takie przeciążenie nie powinno sprawiać kłopotów, nie powinno powodować widzenia tunelowego ani utraty przytomności. [Ja sam rutynowo 'wyciągam' 4g, może 4.5g; oszczędzam się, więc moje pętle są bardziej leminiskatą niż okręgiem..]. Widzieliśmy, że uproszczony model gdzie T=D dał dokładnie n=6 na dole pętli, więc tam dwa rozpatrywane modele niemal się nie różnią.

W miarę przyrostu wysokości, pilot wymusza spadające gładko przyspieszenie dośrodkowe, co daje mniej więcej kołowy tor ruchu. Prędkość spada mniej niż w pierwszym modelu, gdyż rośnie nadwyżka ciągu nad oporem. Na szczycie pętli, po czasie 15.3 s, na zaplanowanej wysokości 4500 ft wyższej niż na początku pętli, prędkość postępowa spada z początkowej v₀ = 180 m/s do v₁ = 122 m/s = 238 kt, a obciążenie z n₀=5.8 do n₁=1.22. Następnie samolot rozpędza się osiągając w punkcie 2 (gdzie lot jest chwilowo pionowy w dół, a t = 22.6 s) prędkość mniej więcej równą początkowej (182 m/s, albo 354 kt), n=4.9, po czym rozpędza się dalej, choć już niewiele.

W dolnym punkcie poprawnie wykonanej kołowej pętli, w czasie t = 28.0 s, samolot miałby końcowe n=6.9 , przy v = 199 m/s = 387 węzłów.

Naturalnie, pilot nie może wymusić skokowej zmiany przeciążenia. Z n=1 nie potrafi natychmiast zrobić aż n=5.8, ani tym bardziej z n=6.9 zredukować do n=1, gdyż konieczny jest pewien czas ruchu drążkiem, jak i dłuższy jeszcze konieczny czas zmiany przez samolot kąta pochylenia, wynikający z jego momentu bezwładności. Dlatego nigdy samoloty nie robią idealnie kołowych pętli, i przyspieszenia na dole pętli są nieco mniejsze od wyliczonych, de facto zapewne nie przekraczają nigdy 5.5g na początku, a 6 g na końcu. Prawdą jest natomiast, że przyspieszenia są zmienne i osiągają dość duże wartości.

Zaproponowany model ma następujące zalety:

(i) jest prosty i używa wartości parametrów wiarygodnych dla F-16, np. prędkość pocz. 350 węzłów. To można zresztą sprawdzić w szczegółowej analizie poklatkowej wideo podanego w punkcie (iii).

(ii) zakładając realistyczną wartość przewyższenia (tj. średnicy pętli) 4500 ft, odpowiadającą promieniowi R=686 m, model daje

(iii) prawidłowy całkowity (ekstrapolowany) czas poprawnej pętli równy T = 28 s, który bdb zgodny jest z zapisem wypadku na filmie

https://planets.utsc.utoronto.ca/~pawel/pix/F-16-28.08.2025.mp4

Pętla trwałaby od 1:28 do 1:56 (gdyby nie CFIT).

Największą wadą modelu jest to, że wykoanana pętla nie była dokładnie kołowa. Była znacznie bardziej okręgiem niż kwadratem, ale te odchyłki należałoby uwzględnić w modelu następnego rzędu dokładności.

WNIOSKI Z MODELU

Pilot mjr Krakowian rozpoczął pętlę poprawnie. Później popełnił niedokładności, które wymagały niemożliwej do osiągnięcia korekcji tuż nad pasem, na końcu pętli. Gdyby nie to, tj. gdyby manewrował poprawnie wymuszając trajektorię kołową, nie doznałby blackoutu wynikającego z przeciążeń, gdyż poprawnie wykonywana, mniej więcej kołowa pętla nie wymaga więcej niż 6g przez kilka sekund. Dla pilota akrobacyjnego lub wojskowego to normalne, trenowane przeciążenie. Nawet jeśli badanie wypadku wykaże wyższe przeciążenia, nie będą ponadkrytyczne. Pilot cały czas aktywnie sterował samolot.

Również hipoteza przeciągnięcia (ang.: stall) jest niesłuszna. Samolot nie był nigdy w reżimie bliskim przeciągnięcia. [Zadania dla ambitnych czytelników: 1. Wykazać, że w modelu beczki z oporem ruchu kasowanym przez silnik prędkość zawsze przewyższa ok. 130% prędkości przeciągnięcia. 2. Wykazać, że w modelu o stałym ciągu silnika, nawet gdyby przeciążenie było o 2/3 większe niż obliczone, nie dochodzi do przeciągnięcia w żadnym punkcie trajektorii].

Pilot popełnił pewne niedokładności i nie zapewnił zakończenia manewru na wysokości gdzie go zaczynał. Nie były to bardzo duże błędy, gdyż zabrakło separacji o jakieś 30 m w pionie i z takimi możliwymi niedokładnościami należało się liczyć, ale tego nie zrobiono. Co konkretnie spowodowało problem?

Pilot nie wyłączył dopalacza, by zmniejszyć ciąg silnika na części zstępującej pętli. To był wg mnie błąd, gdyż tak właśnie robi się najbezpieczniejsze pętle. Niezredukowanie lub za mała redukcja ciągu w drugiej połowie pętli spowodowała (jak sugeruje model obliczeniowy), że końcowa prędkość przekraczała początkową, a wymagane przeciążenie pod koniec pętli było nieco większe niż na początku pętli. Z jakiegoś powodu, albo błędów wykonania kołowej pętli, np. możliwego za słabego ciągnięcia drążka na siebie w fazie nurkowania, co może wymaga nadmiernych przeciążeń pod koniec pętli, samolot uderzył w ziemię. Była łatwa możliwość wykonania bezpieczniejszej beczki, nawet startując z tak niskiego pułapu jaki obrał pilot: potrzebna była redukcja ciągu przed osiągnięciem opadania pionowego w pętli, najlepiej zaraz za jej szczytem.

Oto zapis tego samego samolotu i pilota z o kilka dni wcześniejszego pokazu:

https://www.youtube.com/watch?v=ZizEp5wzgt0

gdzie wykonana jest bezpiecznie i poprawnie pętla, podczas której w czwartym kwadrancie, po punkcie opadania pionowego, od czasu 5:01 (kiedy samolot nurkuje pochylony 45 stopni w dół) do 5:13 (kiedy wznosi się parę sekund po zakończeniu pętli), czyli przez 12 sekund, dopalacz jest wyłączony.

Pilot nie katapultował się, nie odstrzelona została owiewka. Dlaczego? Wydaje mi się, że nie był mentalnie przygotowany na błyskawiczną katapultację i nie zdążył. W krytycznym czasie był zajęty korekcją uświadomionego już zagrożenia i był pod działaniem dość dużego przeciążenia (zapewne 6-8 g). Zauważyć, że zabraknie mniej niż 10 metrów w pionie do dokończenia pętli można, wg mnie, dopiero poniżej ok. 100 m nad ziemią, gdzie w tym wypadku zostało tylko ~1.5 sekundy do katastrofy. Na tej wysokości nie da się poprawić pętli, lecz natychmiastowa katapultacja może uratować pilota. Oczywiście, bywało, że w innych samolotach wojskowych mechanizm katapulty nie zadziałał, więc wersję jego niesprawności też trzeba jeszcze sprawdzić, choć to mało prawdopodobne. Raczej chodziło o to, że ręka pilota nie została nigdy przeniesiona ze steru wysokości na rączkę katapulty (w F-16 obie czynności wykonuje ta sama, prawa ręka).

Ale to nie koniec. Katastrofa była łatwa do zapobieżenia nawet przy błędach pilotażu, które w Radomiu wystąpiły. Chodzi o za niską wysokość nad ziemia na której pętla została zainicjowana.

Najważniejszą, KONIECZNĄ, modyfikacją reguł pokazów lotniczych w RP, GWARANTUJĄCĄ w praktyce, że błędy i niedokładności przy wykonywaniu pokazów nie prowadzą do CFIT, jest podwyższenie minimalnej dozwolonej wysokości lotu do 300 m AGL. W danym przypadku błędnie i niebezpiecznie zgodzono się na 30 m AGL.

W następnym rozdziale bloga

KOMENTARZ PRAWIE NIE POLITYCZNY

Nie zgadzam się z komentatorami sugerującymi w dniu katastrofy, że takie wypadki są nieuniknione. Błędy pilotażu tak, ale nie wypadki. Nie zgadzam się z politykami, którzy tak jak minister Klich po katastrofie samolotu CASA w Mirosławcu, myślą że "zabrakło zwykłego żołnierskiego szczęścia". Takie bzdury doprowadziły od Mirosławca do Smoleńska. Nie sądzę też, by trzeba było zrezygnować z pokazów sprzętu i umiejętności polskich pilotów wojskowych.

Proszę też nie odwracać uwagi od prawdziwych przyczyn katastrofy F-16 w Radomiu, sugerując bezpośredni związek z wcześniejszym o wiele minut przebiegiem korespondencji radiowej z wieżą, z być może niebezpiecznym zbliżeniem F-16 i FA-50. Może było to niebezpieczne, może nie; jeśli tak, to wstyd i osobny problem do analizy i poprawy, ale to nie była przyczyna (ani okoliczność sprzyjająca) wypadku F-16.

W przypadku pokazów lotniczych zarządzanie ryzykiem nie jest bardzo skomplikowane. Wskazałem powyżej regułę dotyczącą minimalnej wysokości zniżania przy akrobacjach, powszechnie stosowaną w międzynarodowych zawodach akrobacji lotniczej. Dzięki tej regule nie giną piloci. Owszem, w Ameryce ministerstwo FAA nadaje wybranym, bardzo zresztą nielicznym, pilotom uprawnienia do latania nawet do zerowej wysokości nad ziemią w czasie pokazów. Ale tu mówimy o polskich pilotach i polskich realiach.