Ostatnia notka zakończyła się wyprowadzeniem generalnego wniosku, który mówił o bardzo mocnych konotacjach pomiędzy klasycznymi układami dynamicznymi, a pojęciami statystycznymi i probabilistycznymi.
Mianowicie, nieliniowe rozwiązania chaotyczne mogą być badane z użyciem metod statystycznych, a nawet więcej – mogą być modelowane w ramach procesów stochastycznych określonej klasy.
Mamy więc taką (nie odosobnioną ) sytuacje, w której układ deterministyczny zachowuje się tak jak układ stochastyczny.
Dla czytelników zainteresowanych bardziej zaawansowanym podejściem polecam klasyczną już książkę :
Donald S. Ornstein - “Ergodic Theory, Randomness, and Dynamical Systems” ; Yale University Press, 1974
Obecnie chciałbym kontynuować dany temat, ale tym razem w związku z fizyką kwantową. Otóż chciałbym w określony i nietrywialny sposób powiązać mechanikę klasyczną i mechanikę kwantową, a w szczególności chciałbym sprawdzić, czy mechanikę kwantową również można powiązać z teorią procesów stochastycznych.
Oczywiście najprostsze, przejście od fizyki klasycznej do kwantowej jest powszechnie znane np. z użyciem formalizmu macierzowego (Heisenberg ) czy też z użyciem tzw. mechaniki falowej ( Schrödinger ).
Ogólnie również wiadomo, że jednym z głównych postulatów mechaniki kwantowej jest interpretacja probabilistyczna kwadratu modułu funkcji falowej. Już w tym miejscu można zauważyć określone związki z pojęciami znanymi z rachunku prawdopodobieństwa.
Jak się jednak okazuje takie podejście nie jest odpowiednie dla mojego celu, mnie interesują bardziej fundamentalne powiązania. Sformułowanie MQ, które wydaje się odpowiedniejsze i o wiele bardziej „wydajniejsze” znane jest jako „feynmanowskie całki po trajektoriach”.
Sama nazwa takiego sformułowania, jak i autorstwo są wysoce nieodpowiednie. Właściwie jest to formalizm całek funkcjonalnych, a jego autorstwo jest jak to bywa w nauce jest kolektywne. ( w tym miejscu pozwolę sobie powiedziec, że nie przepadam za Feynmanem tj. nie trawie, ani jego wykładów z fizyki, ani jego trikowego podejscia do niej )
W poniższym tekście można zapoznać się głębiej z tematem całek po trajektoriach :
http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/calkipotrajektoriach.zip
Jak można się dowiedzieć z w/w tekstu sformułowanie MQ z użyciem całek funkcjonalnych jest bardzo obiecujące i zapewnia liczne zastosowania np. w KTP, kwantowej mechanice statystycznej, teorii zjawisk krytycznych, kwantyzacji grawitacji itp.
Co jednakże najważniejsze sformułowanie to pozwala w bardzo konkretny sposób powiązać mechanikę kwantową, mechanikę statystyczną i KTP z teorią procesów stochastycznych. Zatem na tym gruncie otrzymujemy ponownie bardzo interesujące wnioski mówiące o roli procesów stochastycznych w fizyce.
Tak na marginesie z pośród bardzo bogatej literatury na ten temat (nie tylko w MQ ) można polecić książki :
N. G. Van Kampen - Procesy stochastyczne w fizyce i chemii ; PWN 1990
C. W. Gardiner - Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences,
Springer 2004 ( jest też przekład rosyjski )
W pierwszej kolejności należy zauważyć, że metoda całek funkcjonalnych jest metodą z której wynikają dwie wcześniej wymienione metody podejścia do fizyki kwantowej. Ponadto daje ona odmienną interpretacje MQ – główną role odgrywa teraz propagator i obraz „globalny” ewolucji układu kwantowego. W drugim rzędzie należy zauważyć iż sformułowanie to jest znacznie bardziej wydajniejsze w sensie możliwości uogólnień, zastosowań i obliczeń, niż dwa wcześniej wymienione.
Z mojego dalszego celu, zwrócenie uwagi na głębokie związki pomiędzy teorią procesów stochastycznych i MQ pozwoli na lepsze wprowadzenie do zagadnień mechaniki kwantowej układów otwartych i kwantowania stochastycznego, to raz. W dalszej kolejności pozwoli na wyciągniecie pewnych wniosków do modeli matematycznych stosowanych w fizyce teoretycznej, ale o tym później.
W kolejnej notce postaram się powiedzieć coś więcej o procesach stochastycznych i rachunku stochastycznym np. podać definicje procesu Markowa, wyprowadzić równanie Chapmana-Kołmogorowa, zdefiniować całki Itô i Statonowicza.
Komentarze