Dzisiaj będę racjonalny. Moja ostatnia dyskusja z Eine , który zarzucił mi odkrywanie nowego rachunku prawdopodobieństwa była dla mnie inspiracją do lepszego wyrażenia swoich myśli. Opiszę dlaczego postawiłem butelkę dobrego wina, że przy 100 rzutach monetą, od 40 do 60 razy wypadnie orzeł.
Niewinny rzut monetą, a wzbudza tyle kontrowersji. Może ten rzut monetą nie jest taki niewinny jak by się wydawało? Może symbolizuje naturę bitu przyjmującego stan 0 lub 1, a nigdy 0 i 1 jednocześnie? Ok. W końcu moneta wygląda jak żeton. Oznaczmy więc orła jako 1 a reszkę jako 0.
1 czy 0? Rzućmy na początek 2 razy żetonem. Wszystkie możliwe wyniki to:
(1,1) lub (1, 0) lub (0, 1) lub (0, 0).
Oznaczmy przez P(x) prawdopodobieństwo, że dokładnie x razy wypadnie 1.
P(2) = 1/2 * 1/2 = 1/4
P(1) = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 1/2
P(1) > P(2), ponieważ dwie ścieżki prowadzą do tego samego wyniku.
Dla sześciu rzutów żetonem, drzewo decyzyjne wygląda jak po lewej (jest ono generowane zgodnie z gramatyką L-System, odkryciem Tichy na salonie):
variables : O R
constants : none
start : O
rules : (O → OR), (R → OR)
Liczba wszystkich ścieżek wynosi 2^6 = 64 (brakuje dwóch poziomów, do okrągłej, informatycznej liczby 256**).
Kolejne wyniki:
P(0) = 1/64
P(1) = 6/64
P(2) = 15/64
P(3) = 20/64
P(4) = 15/64
P(5) = 6/64
P(6) = 1/64
Łatwo zauważyć, że przy 6 rzutach najbardziej prawdopodobne jest, P(3). A jeżeli dodamy do tego jeszcze dwie bliskie P(2) i P(4), to:
P(2,3,4) = (15 + 20 + 15) / 64
P(2,3,4) = 50/64 = 0,78
P(0,1,5,6) = (1 + 6 + 6 + 1) / 64
P(0,1,5,6) = 0,22
Wniosek: Najbardziej prawdopodobny wynik, to taka sama liczba wystąpień (0) jak i (1). Jest aż 78% prawdopodobieństwo, że przy 6 rzutach, (1) wypadnie 2, 3 albo 4 razy i tylko 22% prawdopodobieństwo, że (1) nie wypadnie ani razu, lub wypadnie 1, 5 albo 6 razy.
Czy aby na pewno? Dla Eine mój komputer rzucił 100 razy monetą (zapseudolosował) i oto wyniki wyrzucenia orła: 51, 54, 49, 52, 60, 50, 51, 50, 58, 52, 46, 50, 52, 54, 43, 48, 49, 50, 48, 46, 52, 49, 52, 44, 51, 54, 51, 57, 53, 49, 58, 53, 47, 56, 54, 52, 39, 49, 57, 50, 58, 45, 56, 50, 52, 47, 50, 55, 55, 46, 48, 52, 46, 51, 53, 58, 45, 46, 52, 50, 58, 50, 51, 56, 47, 49, 48, 56, 48, 50, 53, 52, 47, 53, 51, 55, 52, 47, 53, 45, 52, 56, 48, 49, 46, 51, 41, 47, 46, 45, 49, 45, 46, 39, 46, 41, 51, 51, 49, 53, średnio 50, minimum 39, maksimum 60.
Jakie będzie prawdopodobieństwo wyrzucenia 100 razy orła w 100 krotnym rzucie? Oczywiście będzie to liczba
1/(2^100) = 1/1 267 650 600 228 230 000 000 000 000 000
która wynosi znacząco mniej od trafienia szóstki w totolotka (1/13 983 16). Dlaczego to prawdopodobieństwo jest tak niskie? To proste, prowadzi do niego tylko jedna ścieżka. Im bliżej środka jesteśmy, tym więcej prowadzących do wyniku ścieżek.
Można też wykonać doświadczenie.
- Rzuć żetonem - losuj (1) lub (0)
- Jeżeli (1) to połóż żeton na pierwszej stercie
- Jeżeli (0) to połóż żeton na drugiej stercie
Czy przy setnym kroku sterty będą podobne? A może by tak wygenerować fraktal? Prosty algorytm powtarzany w pętli:
- Rzuć żetonem - losuj (1) lub (0)
- Jeżeli (1) to skręć w lewo o 90 stopni
- Jeżeli (0) to skręć w prawo o 90 stopni
- Narysuj odcinek
Ciekawe jaka będzie rozpiętość fraktala po 1000 narysowanym w ten sposób odcinku. Spójrzmy:
Hmmm. Jakoś tak mocno skupiony w sobie ten fraktal (szerokość 50 wysokość 19 dla 1000 odcinków). Jak widać "fraktal lubi podążać tymi samymi drogami". A jaki będzie wynik, gdy operację powtórzymy sto razy? Spójrzmy:
Ile razy bym nie powtarzał doświadczenia, otrzymana figura wygląda podobnie - jest skupiona w sobie.
A człowiek? Czy zachowanie człowieka można modelować poprzez prawdopodobieństwo?
*) Rozmawia dwóch informatyków:
- Pożycz mi 250 zł
- Masz tu 256 - będzie równy rachunek.
Objaśnienie: 256 to w systemie dwójkowym liczba 100000000.
Komentarze
Pokaż komentarze (57)