Zróbmy sobie fraktala

Idzie jesień i długie chłodne wieczory. Na Białorusi lud wybrał umiłowanego przywódcę. Chyba coś około 190:0. Wynik rzucający na kolana. Europa ma dość swoich problemów i nawet chyba nie było obserwatorów bo i po co. A u nas? U nas jak tak dalej pójdzie to za jakiś czas basen miejski nie będzie okresowo dostępny ponieważ będzie wywoływane zdjęcie premiera. Albo Lecha Wałęsy. Ale wtedy musi być koniecznie największy basen o rozmiarach olimpijskich. Jak to w kraju ludowej demokracji bywa.

Jest to więc idealny czas aby zrobić sobie fraktala. Aby go zrobić wystarczy mieć dowolne zdjęcie i aparat z soczewką robiącą pomniejszające zdjęcia.  Tworzenie fraktala jest proste. Należy wielokrotnie powtarzać następujące czynności:

• 1.      Na stole położyć dowolne zdjęcie
• 2.      Wykonać kilka zdjęć tego zdjęcia aparatem z pomniejszającą soczewką a otrzymane zdjęcia ułożyć w określony sposób na stole
• 3.      Przejść do punktu drugiego i powtórzyć proces dla nowego układu zdjęć (czyli wykonać następną iterację tego procesu).

Proste, prawda?

Oczywiście układanie kolejno wywoływanych zdjęć  byłby uciążliwe dlatego napisałem mały program, który pozwoli ten proces łatwo i szybko przeprowadzić.  Program można załadować stąd. Tamże jest również dokumentacja jak z tego programu korzystać.

A teraz przejdźmy do tworzenia pierwszego fraktala. Nazywa się on trójkątem Sierpińskiego, od nazwiska słynnego polskiego matematyka - Wacława Sierpińskiego - jednego z twórców polskiej szkoły matematyki.

Wybieramy słynne zdjęcie gdańskich burłaków lotniskowych

I teraz kolejno klikamy na klawisz "Next iteration" i obserwujemy co się będzie działo.

 

Znowu naciskamy klawisz "Next iteration" i otrzymujemy

Zdjęcia zaczynają się ukłądać w ... piramidę. Odwróconą piramidę. Jedźmy dalej. Zobaczymy do czego to nas doprowdzi.

 

i dalej

 i jeszcze jeden

 I jeszcze raz

I po nieskończonej ilości takich układów otrzymamy jedną wielką piramidę z zanurzononymi w niej milionami mniejszych lub większych piramidek. O prawie tak:

Sierpiński zasłynął jako twórca wielu fraktali. Jednym z nich jest fraktal zwany dywanem Sierpińskiego. Do jego wykonania potrzebnych jest naraz osiem zdjęć oraz ułożenie ich znowu w specyficzny sposób. Wybierzmy sobie zdjęcie z następującym słowem:

I powtarzamy ten sam proces ale z ośmioma zdjęciami ułożonymi w nastęujący sposób:

Po drugim okrążeniu widzimy

I aby nie przedłużać (zainteresowani mogą sobie załadować tę aplikację i sami przetestować kolejne etapy) pokażę ostatni najlepiej widoczny dywan:

Prawda, że piękny dywan? Ale jest zła wiadomość, dla tych, którzy chcieliby zamiatać afery pod dywan Sierpińskiego. Nie da się. Ona ma pole powierzchni równe zero. Jest zupełnie przeźroczysty.

Fraktale mają jedną wspólną cechę. Nieskończone powtarzanie itereacji prowadzi do czegoś co się nazywa atraktorem przekształcenia afinicznego. I co jest w tym istotne, to fakt, że od czego byśmy nie wyszli na początku to i tak na końcu otrzymamy identycznego fraktala (proszę to sobie przećwiczyć na dowolnych zdjęciach).

Zupełnie jak my sami, Polacy. Najpierw mamy długo oczekiwaną wolność i suwerenność. A potem po wielu iteracjach i tak wpadamy w koleinę braku dla niej poszanowania aż w końcu ją tracimy. Pomyślmy o tym naszym własnym atraktorze w długie jesienne wieczory.