Szybciej od światła
Bóg może gra w kości, ale nie bawi sie zegarami.
4 obserwujących
10 notek
3997 odsłon
  895   0

Relatywistyczny przyrost masy, pędu i energii

Czy masy na skutek relatywistycznego przyrostu jest więcej? W niniejszej notce postaramy się odpowiedzieć na to pytanie.

Część #1: Teoria opisująca ruch obiektów poruszających się z dowolnymi prędkościami
...

Część #4:  Szybciej, niż światło – wyprowadzenie formuły ruchu
Część #5: Rapidity w Transformacji Lorentza

Część #6: Relatywistyczny przyrost masy, pędu i energii

1. Przyrost masy

Wyobraźmy sobie cząstkę, która porusza się z prędkością v wewnątrz pudełka wzdłuż linii łączącej przeciwległe ścianki. Jak na poniższym rysunku.

image

Cząstka jest źródłem promieniowania o częstotliwości f0. Interesuje nas sygnał wyemitowany w kierunku ścianek znajdujących się na końcach tej linii. Z Teorii Względności wiemy, że jeśli wypromieniowaniu uległa masa m0, to energia dostarczona w ten sposób do ścianek pudełka odpowiada masie m=m0γ, gdzie γ jest współczynnikiem Lorentza.

Jak to możliwe, że rejestrujemy większą masę, niż została wyemitowana? Czy da się ten fenomen opisać prozą, tak żeby „klatka po klatce” prześledzić cały proces? Tak. Poniżej pokażemy, jak oczywiste i zrozumiałe może być to zjawisko, gdy zamiast magicznego wydłużania czasu, skracania odcinków przyjmiemy zasady tradycyjnej geometrii oraz wynikające z niej zależności Modelu Naturalnego.

Na podstawie Efektu Dopplera wiemy, że emitowany sygnał będzie docierał do jednej ścianki z częstotliwością f1=f0e(v/c), a do drugiej z częstotliwością f2=f0e(-v/c).

W poprzedniej notce wykazaliśmy, że Efekt Dopplera dla światła można wyprowadzić w klasyczny sposób i pokazaliśmy to przyrównując każdy grzbiet fali EM do mrówki podróżującej po gumce. Zauważmy, że im większa jest częstotliwość, z jaką mrówki dobiegają do ścianek, tym większa masa mrówek uderza w pudełko w jednostce czasu.

Wprowadźmy następujące oznaczenia (odniesione do jednostki czasu):
m0 – masa mrówek startujących,
m1 – masa mrówek dobiegająca do jednej ścianki,
m2 – masa mrówek dobiegająca do drugiej ścianki.

Mrówki startują parami, dlatego w kierunku każdej ścianki wybiega w danej chwili masa m0/2 mrówek. Powstaje następująca proporcja:imageKorzystając z Efektu Dopplera, napiszemy:imageA zatem łączna masa mrówek m dobiegających do obu ścianek w danej jednostce czasu wynosi:imageTak wygląda wzór na tzw. „masę relatywistyczną” naszych mrówek w funkcji prędkości v, z jaką porusza się cząstka. Uwzględniając zależność γ=cosh⁡(v/c) (patrz rozdział o rapidity) możemy to samo zapisać w krótszej postaci.imageZauważmy, że jeśli zamiast v użyjemy prędkości Lorentza vL otrzymamy zależność dobrze znaną z Teorii Względności.imagePamiętajmy tylko, że vL nie jest prędkością cząstki v, ale funkcją vL(v) zdefiniowaną na potrzeby Transformacji Lorentza (szczegółowo wyjaśniliśmy to we wcześniejszych notkach).

A zatem okazuje się, że i ta często przywoływana niezwykłość, wyrażająca się zależnością m=m0γ, ma całkiem zwyczajne wytłumaczenie. Możemy teraz odpowiedzieć na pytanie zawarte w nagłówku: Nie. Pierwotna ilość masy nie wzrasta, a mierzony przyrost wynika jedynie z faktu (co brzmi dość banalne), że z jednej strony nasza gumka-eter jest ściskana i mrówki dobiegają częściej, a z drugiej jest rozciągana i mrówki dobiegają rzadziej. Ale łączna masa pozostaje stała, czego dowodem jest choćby obserwowany fakt, że obiekt o relatywistycznej masie m0γ jest przyciągany przez prostopadłą siłę grawitacji w taki sam sposób, jak obiekt o masie m0.

Dokonajmy w tym miejscu ważnej konstatacji, że cząstka nie dotyka bezpośrednio układu pomiarowego, ale zawsze robi to poprzez nośniki oddziaływania, czyli nasze „mrówki”. Innymi słowy, obserwator nie rejestruje masy m0, tylko masę m nośników dobiegających do ścianek. To nieusuwalne ograniczenie przyrody (nie rejestrujemy tego, co istnieje, ale to, co dociera do nas w postaci informacji).

2. Przyrost pędu

Ponieważ każda mrówka uderza o ścianki z prędkością c, to pędy przekazywane przez mrówki do ścianek pudełka są równe odpowiednio p1=m1c oraz p2=m2c. A ponieważ mrówki poruszają się w przeciwne strony, to sumaryczny pęd p dostarczony przez mrówki do pudełka możemy zapisać, jako: imagePowyższy wzór definiuje pęd w Modelu Naturalnym, gdzie v jest prędkością, z jaką porusza się cząstka.

Jeśli podobnie, jak poprzednio zamiast prędkości v użyjemy funkcji vL(v), otrzymamy wzór na pęd w postaci dobrze znanej z Teorii Względności.image

3. Przyrost energii

Jeśli każdej mrówce przypiszemy pewną energię, to im większa jest częstotliwość, z jaką mrówki uderzają w ścianki pudełka, tym większą dostarczą energię w jednostce czasu.

Wprowadźmy następujące oznaczenia (odniesione do jednostki czasu):
E0 – energia mrówek wybiegających z mrowiska,
E1 – energia mrówek dobiegających do jednej ścianki,
E2 – energia mrówek dobiegających do drugiej ścianki.

Mrówki startują parami, dlatego w kierunku każdej ścianki wybiegają mrówki o energii E0/2. Powstaje następująca proporcja:imageKorzystając z efektu Dopplera wyliczymy łączną energię E mrówek uderzających w ścianki pudełka w danej jednostce czasu:imageZauważmy, że mrówki dobiegające w danej chwili do ścianek, mają większą energię, niż mrówki wybiegające z mrowiska. Ten przyrost energii ∆E wynosi: imageWartość E0 jest stała w całym zakresie prędkości v. A zatem możemy ją wyliczyć z warunku brzegowego dla v→0, wtedy zamiast ∆E możemy bezpiecznie wstawić klasyczny wzór na energię kinetyczną oraz pominąć dalsze wyrażenia w rozwinięciu funkcji ekspotencjalnej. imageimageOtrzymaliśmy znany wzór na równoważność masy i energii E0=m0c2. Czy to nie zaskakujące? Przecież c oznacza tu prędkość mrówki. W dodatku po gumce zamiast mrówki mógł spacerować jakiś pająk lub inny robak, czy to oznacza, że prędkość c w tym wzorze może mieć dowolną wartość? Wartość c to po prostu prędkość nośnika informacji, z jaką rzeczywistość dostępna jest naszemu poznaniu.

Lubię to! Skomentuj4 Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie