Mówią, że rozmiar się nie liczy. Ale gdy się liczy, to rozmiar może mieć znaczenie, a wręcz może być tak, że można osiągnąć taki rozmiar, że faktycznie nie da się już liczyć.
Opowiem dziś o rzeczach bardzo wielkich.
Milion czy miliard, to dziś liczby banalne. Kiedyś, gdy byłem dzieckiem, gdy mówiło się o kimś, że jest milionerem, to wydawało się to tak ogromne, że wręcz niewyobrażalne. Mieć milion złotych mógł ktoś, kto wygrał w totolotka, a jeśli wygrał, to mógł żyć z samych procentów wygodnie, do końca swych dni.
Dziś posiadanie miliona na koncie nie jest w ogóle niczym specjalnym i na nikim nie robi to wrażenia. Ale mało kto potrafi sobie wyobrazić ile to jest, gdy przyłoży się tę miarę do konkretnych rzeczy. Na przykład do pieniędzy w gotówce.
Często w różnych filmach jest mowa o milionie dolarów. Mam na myśli raczej stare filmy z lat 60 czy 70 gdy była to jeszcze astronomiczna suma.
Otóż mało kto zdaje sobie sprawę ile to jest, konkretnie, fizycznie, milion dolarów. W starych filmach kryminalnych widzimy czasami przekazywanie okupu w walizeczce-aktówce, w której ma się znajdować milion dolarów...
Milion dolarów to dziesięć tysięcy banknotów po sto dolarów. To bardzo dużo papieru. To sto paczuszek po sto studolarówek. zakładając, że plik stu studolarówek ma grubość 1 centymetra, banknot ma długość 15 cm, a szerokość 6 cm okazuje się, że nie jest łatwo włożyć milion dolarów do aktówki. Potrzeba jednak czegoś większego. Ale filmowcom zazwyczaj takie drobiazgi nie przeszkadzają.
Miliard to suma, która robi wrażenie, i którą jeszcze trudniej sobie wyobrazić. Gdybyśmy chcieli liczyć od jednego do miliarda, wypowiadając każdą liczbę przez sekundę (co oczywiście jest niemożliwe, bo na przykład 379 458 321 wypowiada się przez jakieś 5 sekund) to liczylibyśmy przez 32 lata - czyli jest to liczba, do której realnie nikt nie byłby w stanie doliczyć przez całe życie. Wielka liczba.
Zakładając, że żyjemy ok 80 lat, mając miliard złotych moglibyśmy wydawać codziennie trochę ponad 34 tysiące złotych. CODZIENNIE!
Bilion to suma, którą liczymy długi państw. W Polsce w złotówkach, w innych krajach zazwyczaj w dolarach. USA mają dług w wysokości ok. 20 bilionów dolarów, co może wydawać się niewiarygodnie wiele (mając tyle moglibyśmy wydawać przez całe życie codziennie ponad 680 milionów), ale odpowiada to mniej więcej PKB Stanów Zjednoczonych... Wszystkie państwa świata razem wzięte są zadłużone na ok. 80 bilionów dolarów, zaś wartość wszystkiego, co istnieje na Ziemi można ocenić na jakieś 500 bilionów do tryliona dolarów. Trylion, to tysiąc bilionów, czyli milion miliardów. Zapisuje się go tak: 1 000 000 000 000 000 albo tak 1015
Nikt normalny nie jest w stanie wyobrazić sobie takiej liczby, bo człowiek nie został zaprogramowany do obejmowania umysłem takich wielkości. Nie jest to zazwyczaj do niczego nikomu potrzebne. Warto zauważyć, że tak naprawdę jesteśmy w stanie ogarnąć umysłem, jednym spojrzeniem najwyżej 4 przedmioty - to znaczy nie musimy ich liczyć, z miejsca widzimy, że czegoś jest 4. Ale już od pięciu zaczynamy liczyć - najczęściej widzimy trzy, widzimy dwa i je do siebie dodajemy.
Trylion jest poza naszym zasięgiem, a przecież jest to liczba całkowicie mikroskopijna wobec całego zbioru liczb naturalnych.
Przejdźmy więc na nieco wyższy poziom. Poziom liczb, które trudno zapisać na kartce.
Każdy wie, że aby uniknąć właśnie problemu z zapisem wielkich liczb można używać operacji potęgowania. Milion, 10 do potęgi 6 (106 czyli 10*10*10*10*10*10), miliard to 10 do potęgi 9 (109 czyli 10*10*10*10*10*10*10*10*10), bilion to 1012 a trylion to 1015. Za pomocą tego zapisu możemy bez problemu operować przeogromnymi liczbami, tyle, że ... są to wciąż liczby całkowicie mikroskopijne wobec wielkości całego zbioru liczb!
Potrafimy dziś na przykład oszacować liczbę cząstek elementarnych, z których składa się Wszechświat. Chodzi o protony, neutrony, elektrony, te wszystkie najdrobniejsze cegiełki. Jest ich mniej więcej 1080 czyli 10 i 80 zer. Ktoś mógłby pomyśleć, że ta osiemdziesiąta potęga to wcale nie tak dużo, jednak warto pamiętać, że to jest POTĘGA, a to zmienia wiele. Biorąc tylko 20 razy 1012 dolarów moglibyśmy wydawać 680 milionów dolarów dziennie, a każde dodanie 1 do liczby potęgi mnoży to przez 10.
Jedną z najbardziej znanych wielkich liczb jest googol (albo jak niektórzy piszą gogol). Jest to 10100 czyli jedynka z stoma zerami. Liczba ta określa wielkość, która wielokrotnie przekracza liczbę cząsteczek we Wszechświecie. Oznacza to, że gdybyśmy chcieli ją wykorzystać do ponumerowania każdej cząsteczki elementarnej, to by zabrakło tych cząsteczek. Komuś może się wydawać, że pomiędzy 1080 i 10100 nie ma wielkiej różnicy, ale nie zapominajmy, że mamy tu do czynienia z potęgami! Liczba cząsteczek we Wszechświecie jest o WIELE mniejsza od googola - potrzeba byłoby stu miliardów miliardów (1020) naszych wszechświatów, by można było w całości wykorzystać googola do ponumerowania wszystkich cząsteczek.
Wielka liczba, co? Może się w głowie zakręcić, a jak ktoś musiał przeczytać to, co powyżej dwa razy, to niech nie myśli, że to coś wyjątkowego. Wielka liczba, ale co z tego, skoro jest i tak mikroskopijna!
Googolplex to 10googol.
Googola można jeszcze zapisać. Wystarczy odrobinę cierpliwości, jak się to pisze długopisem na kartce, a tak jak ja to robię, to wystarczy kilka operacji kopiuj/wklej i sprawa jest załatwiona. Oto on, googol:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Natomiast zapisane googolplexa w systemie dziesiętnym jest w ogóle, fizycznie niemożliwe. Tak po prostu. Liczba ta ma tyle zer, że nie ma w naszym wszechświecie wystarczająco cząstek elementarnych, by ją zapisać. Potrzeba byłoby ok tysiąca miliardów naszych Wszechświatów, by tego dokonać... Tysiąca miliardów naszych wszechświatów tylko po to, by ZAPISAĆ googolplexa w systemie dziesiętnym przypisując zero każdej cząstce elementarnej. Warto zwrócić uwagę tu na fakt, że nie chodzi o POLICZENIE wszystkich cząsteczek w tych wszechświatach, ale jedynie o ZAPISANIE samej liczby!
Natrafiamy tu na kolejną granicę związaną z liczbami - najpierw była granica objęcia umysłem (przypominam - dla człowieka pierwszą granicą jest 4), teraz mamy granicę możliwości fizycznych. Oczywiście nie muszę chyba dodawać, że googolplex jest liczbą mikroskopijną wobec ogromu nieskończoności liczb naturalnych!
Googolplex brzmi ładnie, ale matematycy lubią tworzyć działania na obiektach bardziej przyjaznych (dla nich) niż jakieś słowa wzięte żywcem z Alicji w Krainie Czarów. Googolplex bywa w ich pracach jedynie pionkiem, czasami (całkiem często) potrzebne są o wiele większe liczby. Dla takich wielkich liczb stosowana jest notacja strzałkowa Knutha. Jest to sposób na uproszczenie notowania operacji na wielkich liczbach, albo inaczej uproszczenie przedstawiania wielkich liczb.
Otóż zamiast budować nieskończone piramidy potęg (przypomnijmy, że googol to 10 do potęgi 100, a googolplex to 10 do potęgi googol czyli 10 do potęgi 10 do potęgi 100) w notacji strzałkowej Knutha stosuje się strzałki (↑). I tak
52 to 5↑2
Googol to 10↑100
i tak dalej.
Ciekawe jest to, co można z tym robić. Otóż dzięki strzałkom unikamy uciążliwego notowania piramid potęg.
I tak aby zapisać 5(55) napiszemy 5↑↑3.
Gdy napiszemy 5↑↑↑3 to tak, jakbyśmy napisali 5↑↑5↑↑5
Dla przykładu liczba 3↑↑↑3 to 3 do potęgi w formie piramidki potęg, w której 3 wystąpi 7 625 597 484 987 razy. Warto zauważyć, że googolplex zapisuje się za pomocą jedynie maleńkiej piramidki dwóch potęg: 10 do potęgi 10 do potęgi 100. Czyli obliczenie 3↑↑↑3 nie ma o tyle sensu, że wyniku nie da się zapisać w systemie dziesiętnym, nie da się nawet zapisać liczby cyfr, z których się składa, w całym wszechświecie nie da się nawet zapisać liczby cyfr, z których składa się liczba cyfr, z których składa się 3↑↑↑3...
Nie ma chyba sensu dalej wnikać w szczegóły tej notacji, za której pomocą można w sposób stosunkowo zwięzły notować liczby tak ogromne, że googolplex jest przy nich ledwie nic nieznaczącym pyłkiem. Warto co najwyżej zwrócić uwagę na to, że omówiliśmy powyżej operację używającą tylko trzy strzałki, a można ich użyć dowolnie dużo.
Po co to komu?
Otóż jest to potrzebne matematykom do prowadzenia różnych obliczeń. Okazuje się, że istnieje największa liczba, jaką kiedykolwiek w historii użyto w matematyce. Jest to liczba Grahama, największa w historii świata liczba, którą użyto w przeprowadzeniu dowodu matematycznego.
Liczbę tę zdefiniowano w następujący sposób - należy definiować ją etapami, a jest tych etapów 64. Nie ma innej możliwości. Oto droga, którą trzeba iść by zdefiniować liczbę Grahama.
1. 3↑↑↑↑3 (co odpowiada wartości gigantycznie wyższej od wszystkich tych, o których była mowa powyżej)
2. 3xxxxx3 gdzie xxxxx odpowiada liczbie strzałek odpowiadającej wynikowi z operacji numer 1.
3. 3yyyyy3 gdzie yyyyy odpowiada liczbie strzałek odpowiadającej wynikowi z operacji numer 2.
i tak dalej aż do operacji numer 64.
Liczba odpowiadająca operacji w linii numer 64 jest liczbą Grahama. Jest to największa liczba, która kiedykolwiek komukolwiek do czegoś się przydała. Nie ma w jej przypadku żadnej możliwości "zrozumienia" czegokolwiek, nie ma żadnej możliwości porównania tej liczby do czegokolwiek co znamy, czy do czegokolwiek co możemy sobie wyobrazić.
Zauważmy, że mowa jest tutaj jednak wciąż o liczbach, które potrafimy JAKOŚ określić. Czy to potęgami, potęgami potęg, czy strzałkami notacji Knutha. Nie operujemy już wcale samymi liczbami, tylko operacjami matematynymi, których wynikiem są te liczby. Zaczęło się od potęgi - bo przecież 52 to nie jest LICZBA, tylko OPERACJA MATEMATYCZNA obrazująca liczbę 25.
Jednak widać, że notowanie tych liczb, czy ich wyliczenie staje się coraz bardziej skomplikowane, coraz bardziej złożone. Liczby Grahama nie da się nijak zanotować, można jedynie przedstawić drogę, która do niej prowadzi, czyli operacje matematyczne, które do niej prowadzą. Oczywiście można mnożyć systemy notacji i zbudować kolejny i kolejny, jednak za każdym razem będziemy musieli wykonywać coraz bardziej złożone operacje liczenia.
I tutaj zbliżamy się do horyzontu naszych możliwości. Cokolwiek wymyślimy to i tak nieuchronnie dojdziemy do sytuacji, w której same obliczenia (jak na przykład sposób przedstawienia Liczby Grahama) będą zbyt skomplikowane i zbyt czasochłonne byśmy byli je w stanie wykonać. Horyzont liczb naturalnych jest oczywiście daleko, daleko za Liczbą Grahama, która w zbiorze tych liczb jest całkowicie nic nieznaczącym pyłkiem, ale realnie istnieje. Czyli istnieją liczby, których ludzka inteligencja nie jest w stanie w ogóle ogarnąć, w żaden sposób. Nie da się ich zanotować, nie da się do nich dojść jakimikolwiek obliczeniami...
I co najdziwniejsze w całym zbiorze liczb naturalnych tych liczb, znajdujących się poza horyzontem ludzkich możliwości, jest najwięcej. Jest ich nieskończenie wiele! A nieskończoność, to naprawdę bardzo dużo.
