Widziane z pozycji siedzącej
Wszyscy ludzie rodzą się wolni i równi, a potem każdy musi sobie jakoś radzić.
45 obserwujących
759 notek
496k odsłon
501 odsłon

Rozmiar się liczy, ale tylko do horyzontu

Wykop Skomentuj11

Wielka liczba, co? Może się w głowie zakręcić, a jak ktoś musiał przeczytać to, co powyżej dwa razy, to niech nie myśli, że to coś wyjątkowego. Wielka liczba, ale co z tego, skoro jest i tak mikroskopijna!

Googolplex to 10googol.

Googola można jeszcze zapisać. Wystarczy odrobinę cierpliwości, jak się to pisze długopisem na kartce, a tak jak ja to robię, to wystarczy kilka operacji kopiuj/wklej i sprawa jest załatwiona. Oto on, googol:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Natomiast zapisane googolplexa w systemie dziesiętnym jest w ogóle, fizycznie niemożliwe. Tak po prostu. Liczba ta ma tyle zer, że nie ma w naszym wszechświecie wystarczająco cząstek elementarnych, by ją zapisać. Potrzeba byłoby ok tysiąca miliardów naszych Wszechświatów, by tego dokonać... Tysiąca miliardów naszych wszechświatów tylko po to, by ZAPISAĆ googolplexa w systemie dziesiętnym przypisując zero każdej cząstce elementarnej. Warto zwrócić uwagę tu na fakt, że nie chodzi o POLICZENIE wszystkich cząsteczek w tych wszechświatach, ale jedynie o ZAPISANIE samej liczby!

Natrafiamy tu na kolejną granicę związaną z liczbami - najpierw była granica objęcia umysłem (przypominam - dla człowieka pierwszą granicą jest 4), teraz mamy granicę możliwości fizycznych. Oczywiście nie muszę chyba dodawać, że googolplex jest liczbą mikroskopijną wobec ogromu nieskończoności liczb naturalnych!

Googolplex brzmi ładnie, ale matematycy lubią tworzyć działania na obiektach bardziej przyjaznych (dla nich) niż jakieś słowa wzięte żywcem z Alicji w Krainie Czarów. Googolplex bywa w ich pracach jedynie pionkiem, czasami (całkiem często) potrzebne są o wiele większe liczby. Dla takich wielkich liczb stosowana jest notacja strzałkowa Knutha. Jest to sposób na uproszczenie notowania operacji na wielkich liczbach, albo inaczej uproszczenie przedstawiania wielkich liczb.

Otóż zamiast budować nieskończone piramidy potęg (przypomnijmy, że googol to 10 do potęgi 100, a googolplex to 10 do potęgi googol czyli 10 do potęgi 10 do potęgi 100) w notacji strzałkowej Knutha stosuje się strzałki (↑). I tak

52 to 5↑2

Googol to 10↑100

i tak dalej.

Ciekawe jest to, co można z tym robić. Otóż dzięki strzałkom unikamy uciążliwego notowania piramid potęg.

I tak aby zapisać 5(55) napiszemy 5↑↑3.

Gdy napiszemy 5↑↑↑3 to tak, jakbyśmy napisali 5↑↑5↑↑5

Dla przykładu liczba 3↑↑↑3 to 3 do potęgi w formie piramidki potęg, w której 3 wystąpi 7 625 597 484 987 razy. Warto zauważyć, że googolplex zapisuje się za pomocą jedynie maleńkiej piramidki dwóch potęg: 10 do potęgi 10 do potęgi 100. Czyli obliczenie 3↑↑↑3 nie ma o tyle sensu, że wyniku nie da się zapisać w systemie dziesiętnym, nie da się nawet zapisać liczby cyfr, z których się składa, w całym wszechświecie nie da się nawet zapisać liczby cyfr, z których składa się liczba cyfr, z których składa się 3↑↑↑3...

Nie ma chyba sensu dalej wnikać w szczegóły tej notacji, za której pomocą można w sposób stosunkowo zwięzły notować liczby tak ogromne, że googolplex jest przy nich ledwie nic nieznaczącym pyłkiem. Warto co najwyżej zwrócić uwagę na to, że omówiliśmy powyżej operację używającą tylko trzy strzałki, a można ich użyć dowolnie dużo.

Po co to komu?

Otóż jest to potrzebne matematykom do prowadzenia różnych obliczeń. Okazuje się, że istnieje największa liczba, jaką kiedykolwiek w historii użyto w matematyce. Jest to liczba Grahama, największa w historii świata liczba, którą użyto w przeprowadzeniu dowodu matematycznego.

Liczbę tę zdefiniowano w następujący sposób - należy definiować ją etapami, a jest tych etapów 64. Nie ma innej możliwości. Oto droga, którą trzeba iść by zdefiniować liczbę Grahama.

1. 3↑↑↑↑3 (co odpowiada wartości gigantycznie wyższej od wszystkich tych, o których była mowa powyżej)

2. 3xxxxx3 gdzie xxxxx odpowiada liczbie strzałek odpowiadającej wynikowi z operacji numer 1.

3. 3yyyyy3 gdzie yyyyy odpowiada liczbie strzałek odpowiadającej wynikowi z operacji numer 2.

i tak dalej aż do operacji numer 64.

Liczba odpowiadająca operacji w linii numer 64 jest liczbą Grahama. Jest to największa liczba, która kiedykolwiek komukolwiek do czegoś się przydała. Nie ma w jej przypadku żadnej możliwości "zrozumienia" czegokolwiek, nie ma żadnej możliwości porównania tej liczby do czegokolwiek co znamy, czy do czegokolwiek co możemy sobie wyobrazić.

Zauważmy, że mowa jest tutaj jednak wciąż o liczbach, które potrafimy JAKOŚ określić. Czy to potęgami, potęgami potęg, czy strzałkami notacji Knutha. Nie operujemy już wcale samymi liczbami, tylko operacjami matematynymi, których wynikiem są te liczby. Zaczęło się od potęgi - bo przecież 52 to nie jest LICZBA, tylko OPERACJA MATEMATYCZNA obrazująca liczbę 25.

Jednak widać, że notowanie tych liczb, czy ich wyliczenie staje się coraz bardziej skomplikowane, coraz bardziej złożone. Liczby Grahama nie da się nijak zanotować, można jedynie przedstawić drogę, która do niej prowadzi, czyli operacje matematyczne, które do niej prowadzą. Oczywiście można mnożyć systemy notacji i zbudować kolejny i kolejny, jednak za każdym razem będziemy musieli wykonywać coraz bardziej złożone operacje liczenia.

I tutaj zbliżamy się do horyzontu naszych możliwości. Cokolwiek wymyślimy to i tak nieuchronnie dojdziemy do sytuacji, w której same obliczenia (jak na przykład sposób przedstawienia Liczby Grahama) będą zbyt skomplikowane i zbyt czasochłonne byśmy byli je w stanie wykonać. Horyzont liczb naturalnych jest oczywiście daleko, daleko za Liczbą Grahama, która w zbiorze tych liczb jest całkowicie nic nieznaczącym pyłkiem, ale realnie istnieje. Czyli istnieją liczby, których ludzka inteligencja nie jest w stanie w ogóle ogarnąć, w żaden sposób. Nie da się ich zanotować, nie da się do nich dojść jakimikolwiek obliczeniami...

I co najdziwniejsze w całym zbiorze liczb naturalnych tych liczb, znajdujących się poza horyzontem ludzkich możliwości, jest najwięcej. Jest ich nieskończenie wiele! A nieskończoność, to naprawdę bardzo dużo.

Wykop Skomentuj11
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie