W poprzedniej notce udało nam się uzyskać wzór na zbliżanie się dwóch mas pod wpływem grawitacji.
Oto on:
}}[\frac{\sqrt{\frac{R}{r}-1}}{R}r+\arctan(\sqrt{\frac{R}{r}-1})] "t=\frac{\sqrt{R}R}{\sqrt{2G(m+M)}}[\frac{\sqrt{\frac{R}{r}-1}}{R}r+\arctan(\sqrt{\frac{R}{r}-1})]")
Sprawdźmy jak ten wzór upraszcza się w przypadku spadku ziemniaka, z wysokości h nad ziemią, na ziemię na Ziemi.
Na początek mamy więc:
}{\sqrt{2G(m_z+M_Z)}}[\frac{\sqrt{\frac{R_Z+h}{R_Z}-1}}{R_Z+h}R_Z+\arctan(\sqrt{\frac{R_Z+h}{R_Z}-1})] "t=\frac{\sqrt{R_Z+h}(R_Z+h)}{\sqrt{2G(m_z+M_Z)}}[\frac{\sqrt{\frac{R_Z+h}{R_Z}-1}}{R_Z+h}R_Z+\arctan(\sqrt{\frac{R_Z+h}{R_Z}-1})]")
czyli
}{\sqrt{2G(m_z+M_Z)}}[\frac{\sqrt{\frac{h}{R_Z}}}{R_Z+h}R_Z+\arctan(\sqrt{\frac{h}{R_Z}})] "t=\frac{\sqrt{R_Z+h}(R_Z+h)}{\sqrt{2G(m_z+M_Z)}}[\frac{\sqrt{\frac{h}{R_Z}}}{R_Z+h}R_Z+\arctan(\sqrt{\frac{h}{R_Z}})]")
Na razie wzór się nieco skomplikował ale to chwilowe.
Zauważmy, że masa ziemniaka jest znikomo mała w stosunku do masy Ziemi więc możemy napisać:
}{\sqrt{2GM_Z}}[\frac{\sqrt{\frac{h}{R_Z}}}{R_Z+h}R_Z+\arctan(\sqrt{\frac{h}{R_Z}})] "t=\frac{\sqrt{R_Z+h}(R_Z+h)}{\sqrt{2GM_Z}}[\frac{\sqrt{\frac{h}{R_Z}}}{R_Z+h}R_Z+\arctan(\sqrt{\frac{h}{R_Z}})]")
Zakładamy również, że wysokość h jest znikomo mała w stosunku do promienia Ziemi więc możemy napisać:
] "t=\frac{\sqrt{R_Z}R_Z}{\sqrt{2GM_Z}}[\frac{\sqrt{\frac{h}{R_Z}}}{R_Z}R_Z+\arctan(\sqrt{\frac{h}{R_Z}})]")
czyli
] "t=\frac{\sqrt{R_Z}R_Z}{\sqrt{2GM_Z}}[\sqrt{\frac{h}{R_Z}}+\arctan(\sqrt{\frac{h}{R_Z}})]")
Wiemy, że arctan z małej liczby jest tą małą liczbą więc możemy napisać:
czyli
czyli
czyli
czyli
Wiemy, że przyspieszenie ziemskie g wyraża się wzorem:
nasz wzór przybiera więc postać:
a tę postać wszyscy znają ze szkoły podstawowej.
