Blog
Przy muzyce o termodynamice
Zajtenberg
Zajtenberg Kiedyś fizyk dziś biurokrata
30 obserwujących 207 notek 166100 odsłon
Zajtenberg, 15 lipca 2017 r.

…ale (u Starka) są energie równiejsze

786 86 1 A A A

Efekt Starka polega na zmianie widma atomów, po umieszczeniu ich w polu elektrycznym rzędu 105-106V/cm. Nawiasem pisząc – w przypadku atomów wodoru – to trzecie z czterech rozwiązanych przez Schrödingera dużych zagadnień, jakie złożyły się na serię publikacji „Kwantyzacja jako zagadnienie własne”:

image

Jak modeluje się takie zagadnienie? Bierze się równanie Schrödingera atomu z elektronami bez zewnętrznego pola elektrycznego, potem dokłada pole elektryczne i sprawdza na ile zmieniła się energia układu elektronów w atomie[1]. Nazywa się to rachunek zaburzeń. Policzone różnice można porównać z rzeczywistością, poprzez analizę widmową danego pierwiastka bez pola i z polem. No i jak to zwykle bywa w mechanice kwantowej, teoria zgadza się z praktyką.

Fajnie, tylko cała zabawa jest niepoprawna matematycznie: Energia układu niezaburzonego jest dyskretna, a zaburzonego już ciągła. W takim przypadku wzory rachunku zaburzeń się nie stosują. Zobaczmy dokładniej o co chodzi:

Stałe pole elektryczne wprowadza się do modelu przez dołożenie do energii układu potencjału V(r) = -eEx Akurat tak zapisany kierunek pola jest zgodny z osią X. Gdy poziomy energetyczne układu bez pola elektrycznego:

image

zaburzymy wspomnianym potencjałem, to wydaje się, że po policzeniu poprawek, można zakończyć drążenie tematu:

image

Ale jak popatrzymy z daleka:

image

to łatwiej zauważyć, że każda wartość[2] energii jest możliwa i dyskretne poziomy energetyczne powinny zniknąć. Z innej strony: ponieważ widmo jest ciągłe, to nie istnieją „uczciwe” wektory własne operatora energii. Mamy jedynie nienormowane „stany” nieco podobne w charakterze do fal płaskich opisywanych w notce „Nieślubne dziecko teorii kwantów”. Na obrazku pozwoliłem namalować sobie na zielono, jak może wyglądać taki „stan”, odpowiadający energii oznaczonej na osi jako e. Skoro więc nie ma stanów własnych, to co właściwie liczą badacze efektu Starka? Czy można jakoś wytłumaczyć dlaczego matematycznie niepoprawna procedura daje dobre wyniki? Można tylko trzeba do tego użyć porządniejszej matematyki.

Zanim zajrzymy w zawiłości matematyczne spróbujmy się zastanowić, co może oznaczać opisana powyżej niedobrota modelu. Przede wszystkim widmo staje się ciągłe, więc emitowane światło nie powinno składać się z linii widmowych – a składa się! Gdyby włączenie pola elektrycznego miało tak drastycznie zmieniać charakter rozwiązań równania Schrödingera, oznaczałoby to istotne zmiany jakościowe właściwości badanej materii. I poniekąd tak jest, ale dla bardzo, bardzo dużych pól elektrycznych, bo wtedy następuje jonizacja gazu. W przypadku omawianym w niniejszej notce własności gazu zmienią się niewiele. Ale na pierwszy rzut oka matematyka modelu chce inaczej. To też jeszcze jeden przykład, że trzeba uważać na szybkie „dowody” czy „wyprowadzenia”, żeby nie wpaść w jakąś pułapkę.

Niech ψ będzie stanem, jaki obliczyliśmy z procedury rachunku zaburzeń. Nie jest to stan stacjonarny – na pewno będzie sobie wyciekał w kierunku działania pola elektrycznego[3]. Oznacza to, że nasz obliczony stan potraktujemy jako istniejący w chwili t=0, to w następnych chwilach przeewoluuje on do jakiegoś innego ψt>0. Jeśli zmiany stanu będą bardzo powolne, możemy potraktować go jako prawie-stacjonarny, czyli jakościowo taki jak w atomach bez pola elektrycznego. Pytanie tylko czy będzie zmieniał się powoli czy szybko? I tu w sukurs przychodzi tzw. zasada nieoznaczoności czasu-energii sformułowana nieco inaczej niż ujęcie tradycyjne. Wzór co prawa wydaje się znajomy, ale znaczenie użytych symboli jest jednak dość specyficzne:

Δt ΔE ≥ (1/2)ħ

Najpierw czas Δt. W twierdzeniu jest to średni czas życia naszego elektronu w stanie ψt=0. Jak go określić? Podpowie nam geometria: interesuje nas składowa stanu ψt>0 w kierunku ψt=0. Kwadrat modułu składowej pokazuje na ile wektor ψt>0 jest podobny do początkowego. Średni czas życia Δt wynika z takiego rozkładu jak poniżej:

image

Jeśli Δt jest bardzo duże, to można spać spokojnie. Stan choć nie jest stacjonarny, to będzie żył wystarczająco długo, bo traktować go jak stacjonarny. Szacowanie |⟨ψt=0t>0⟩|2 wykonać jest trudno, ale gdybyśmy wiedzieli jakie jest ΔE, oszacowalibyśmy ten czas z wypisanej zasady nieoznaczoności.

Żeby powiedzieć czym w twierdzeniu jest ΔE, trzeba trochę poopowiadać. Rozpisujemy sobie nasz stan ψt=0 jako sumę wspomnianych na początku notki „wektorów własnych” operatora energii (w porządnej  matematyce używa się tzw. miar spektralnych, no bo prawdziwe wektory własne, jak to już napisałem, nie istnieją). Okazuje się, że użyte „wektory własne” odpowiadają wartościom energii mieszczącej się w bardzo wąskim przedziale – szerokość tego przedział to właśnie ΔE (małe ΔE daje duże Δt, a o to nam chodzi). To tak, jakby świat „stanów” przypisany do tego przedziału był na tyle bogaty, żeby można było utworzyć z niego rozsądne funkcje falowe. I najbardziej niesamowite jest to, jak głęboko treść fizyczna zgodna jest ze szczegółami matematycznymi (wydawałoby się prostego) modelu.

Gdyby chcieć opisać to bardziej intuicyjnie, można by powiedzieć, że co prawda widmo energii jest ciągłe, ale w niektórych miejscach bardziej „zagęszczone”. Parafrazując więc zwierzęce hasło z powieści Orwella: W widmie ciągłym niby wszystkie energie są „równe” (w sensie jednakowo ważne), ale w efekcie Starka są wśród nich energie „równiejsze”.


(dopisek) SNAFU zwrócił mi uwagę, że po lekturze notki amatorzy mogliby wysunąć przypuszczenie, że rachunek zaburzeń to w ogóle technika niepoprawna matematycznie, a tak nie jest. Ona jest niepoprawna akurat w tym jednym przypadku, bo też i sam efekt Starka jest z punktu widzenia matematyki wyjątkowy – na przykład włożenie atomu w stałe pole magnetyczne (efekt Zeemana) nie niszczy dyskretności widma.

[1] Akurat w przypadku efektu zmiany poziomów energetycznych objawią się dość ciekawie, bo będziemy mieli do czynienia z tzw. rozszczepieniem poziomów – zwróć uwagę jak wygląda dołączony poglądowy rysunek układu zaburzonego. Co to takiego owo rozszczepienie? Układ elektrony w atom bez pola elektrycznego ma wiele możliwych stanów. Jeśli otoczenie atomu wykazuje symetrię to bardzo często zdarza się, że jednej energii odpowiada kilka różnych stanów. Uczenie nazywa się to degeneracją. Wprowadzenie pola elektrycznego zaburza symetrię i energie dla różnych stanów mogą być już różne. Czyli zamiast jednej „wielokrotnej” wartości energii, mamy kilka nieznacznie różniących się wartości. Stąd fizycy mówią o rozszczepieniu poziomu. Całkiem podobnie stanie się, gdy zanurzymy atom w pole magnetyczne – rozszczepienie jest wtedy proporcjonalne do liczby kwantowej m. Pisałem o tym w notce „Jaki moment pędu ma orbital”.

[2] Od dołu wartości te będą ograniczone przez wartość potencjału elektrycznego, bo przecież każde pole elektryczne gdzieś się kończy.

[3] Aż się prosi, by coś napisać o zjawisku tunelowym.

Opublikowano: 15.07.2017 18:22. Ostatnia aktualizacja: 04.08.2017 08:20.
Autor: Zajtenberg
Skomentuj Obserwuj notkę Napisz notkę Zgłoś nadużycie
NEWSY - TOP 5

O mnie

Amator muzyki "młodzieżowej" i fizyki. Obie te rzeczy wspominam na blogu, choć interesuję się i wieloma innymi.

Tematycznie:
Spis notek z fizyki
Notki o mechanice kwantowej

Do ściągnięcia:
Wypiski o fizyce (pdf)
Historia The Beatles (pdf)

Ostatnie notki

Najpopularniejsze notki

Ostatnie komentarze

  • @boson Najgłupsza. Czyli jednak nie jest to typowa recenzja :)
  • @Tichy OK, twoje wyprowadzenie pokazało, że wzory, które wypisałem wraz z zaproponowaną...
  • "Z dokładnością do dziedziny" wzór całkowania przez części jest prawdziwy dla (prawie)...

Tematy w dziale Technologie