Zajtenberg Zajtenberg
930
BLOG

Niekwantowa zasada nieoznaczoności

Zajtenberg Zajtenberg Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 67

Przyzwyczailiśmy się do tego, że zasada Heisenberga stanowi istotne Ograniczenie Naszego Poznania Natury w mikroświecie. I dlatego kwanty tak bardzo się różnią od świata klasycznego, gdzie pomiarów można dokonywać dowolnie dokładnie. I wszystko pięknie, tylko że to nieprawda. Dziś przykład zasady nieoznaczności z fizyki klasycznej bliźniaczo podobny do formuły:

Δx Δp ≥ (1/2) ħ

Na początek zadanie: o której godzinie trębacz z Wieży Mariackiej zagrał ostatni dźwięk hejnału? I jeszcze jedno: jaka była wysokość tego dźwięku?

Odpowiadamy na pytanie pierwsze: Następuje godzina 12:00 i parę minut później zatrzymujemy zegarek, gdy wyimaginowana strzała przerywa hejnał. Odmierzmy jednak z większą dokładnością niż sekunda, moment w którym ostatni dźwięk brzmi: Może do setnej części sekundy, albo jeszcze dokładniej? Od razu pojawia się kolejne pytanie: Czy mamy zmierzyć początek dźwięku czy koniec, a może środek? Pytanie o moment czasu w którym zdarzył się dźwięk nie ma sensu. Bo dźwięk jest czymś rozciągłym w czasie, nie da się określić za pomocą jednej liczby na osi czasu.

No to modyfikujemy zadanie – mamy wygenerować jak najkrótszy dźwięk, żeby pytanie o współrzędną czasową było jak najbardziej uzasadnione. W końcu dźwięk to inaczej zaburzenie ciśnienia powietrza, a takie zaburzenie możemy (prawie) dowolnie skracać w czasie. Stawiamy głośnik, podłączamy do jakiejś grającej machiny i generujemy jak najkrótszy sygnał, przekładający się na drgania membrany głośnika. Sygnał będziemy modelować za pomocą matematycznej funkcji s(t).

Teraz pora na zadanie drugie: pomiar wysokości dźwięku. Trochę niełatwo odpowiedzieć, co tak naprawdę powinniśmy zmierzyć. Moim skromnym zdaniem (jak spróbuję pokazać w następnym odcinku) za „ludzkie” wrażenie wysokości dźwięku odpowiada w pewnym sensie okresowość zaburzenia. Okres T będzie wtedy odcinkiem czasu, po którym sygnał się powtórzy, to samo po 2T, 3T itd.:

s(t) = s(t+T)

Ale takie podejście nie dość, że „zbyt ścisłe”[1], to jeszcze brutalnie ogranicza nam liczbę mierzonych dźwięków, bo przecież one nie muszą być wystarczająco okresowe. Można jednak przyjąć pojęcie częstotliwości f występujące w transformacie Fouriera:

image

Osoby znające formalizm mechaniki falowej, a ściślej wyrażenie stanu przez funkcję falową ψ(x)zależną od położeń lub (poprzez transformatę Fouriera) od pędów ψ(p), bez problemów zauważą, że tak samo można potraktować funkcję opisującą dźwięk: Z s(t) można policzyć sobie s(f). Nie będę tutaj brnął w matematykę, napiszę tylko najprawdziwszą zasadę nieoznaczoności występującą w najprawdziwszej fizyce niekwantowej:

Δt Δf ≥ 1/(4π)

We wzorze widzimy: Δt – dokładność z jaką możemy określić moment wystąpienia dźwięku (mniej więcej połowa czasu trwania) Δf – nieoznaczoność pomiaru częstotliwości. Im krótszy dźwięk, tym częstotliwość jest gorzej określona. Innymi słowy: Δf=0 dostaniemy tylko dla dźwięku, o przebiegu sinusoidalnym trwającym całą wieczność ☺.

Jak widać ta przebrzydła fizyka niekwantowa też wprowadza swoje Ograniczenie Naszego Poznania Natury. I to całkiem bez Heisenberga.

I jeszcze mała ilustracja powyższej zasady. Wygenerowałem sobie dźwięki trwające 0,1s (wykres czerwony) i 1s (zielony) o przebiegu sinusoidalnym i stosując program opisany w notce „Zaglądamy w dźwięk” – tam również nieco więcej o formalizmie transfourierowania – po uprzednim unormowaniu, wyrysowałem rozkłady częstotliwości takiego sygnału:

image

Kącik matematyczny

Powyżej lekką ręką napisałem wzór Δt Δf ≥ 1/(4π), powołując się na podobny formalizm matematyczny, a przecież dźwięki jednak różnią się od funkcji falowych. Przede wszystkim zaburzenie s(t) jest rzeczywiste, a częstotliwości są tylko dodatnie. Trzeba w tym momencie od nowa przeliczyć wzory znane z podręcznika mechaniki kwantowej. Nawet próbowałem, ale odzwyczajony od rachunków jakoś nie poszedłem zbyt daleko do przodu. Podejrzewam jednak, że ta praca już została przez kogoś zrobiona, bo przestrzeń L2(R+) wydaje się dość zwyczajna (podejrzewam, że np. bloger Tichy nie miałby takich kłopotów jak ja). Szczęśliwie uwaga Dedy pod notką „Atomy świecą nieproszone” naprowadziła mnie na myśl, że rozwiązanie problemu mam w książce, którą właśnie tam cytowałem ☺.

Częstotliwości dźwięków są dodatnie. Nieco podobną sytuację będziemy mieli, kiedy zaczniemy rozpatrywać zasadę nieoznaczoności czas-energia w mechanice kwantowej – energia musi być ograniczona od dołu. Innymi słowy, przy odpowiednim cechowaniu można ograniczyć ją tylko do wartości dodatnich. No i jedno z podejść dyskutowanych w „Mechanice Kwantowej” M. Grabowskiego i R. Ingardena, przedstawia taki właśnie przypadek:

image

Matematycznie (jak zapomnimy o treści fizycznej) model dźwięku jest szczególnym przypadkiem przedstawianego modelu stanu kwantowego. Wystarczy dokonać podstawienia H → 2πf ħ i otrzymamy wzór na który powoływałem się w notce.

[1] Pojęcie okresowości dobrze pasuje tylko do nieistniejących dźwięków trwających od zawsze do zawsze. Możemy jednak się umówić, że trzeba wziąć takie, co trwają wystarczająco długo i wystarczająco regularne, by określając okresowość nie mieć większych dylematów.

Zajtenberg
O mnie Zajtenberg

Amator muzyki "młodzieżowej" i fizyki. Obie te rzeczy wspominam na blogu, choć interesuję się i wieloma innymi. Tematycznie: | Spis notek z fizyki | Notki o mechanice kwantowej | Do ściągnięcia: | Wypiski o fizyce (pdf) | Historia The Beatles (pdf)

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie