W przykładach z poprzednich notek losy starych teorii kształtowały się różnie. Ale przynajmniej jedno dawało się powiedzieć: Wyniki jakie uzyskano ze starych równań, były odtwarzane przez nowe teorie. No i dziś pora na wyjątek od tej zasady. Chodzi o tzw. kwantowanie Wilsona-Sommerfelda.
Co prawda mechanika kwantowa narodziła się w 1925/6 roku, ale wcześniej też próbowano opisywać zjawiska w małych skalach. Taką próbą jest choćby model atomu wodoru Bohra pochodzący z tamtych lat. Dodajmy do tego zjawisko fotoelektryczne, za wyjaśnienie którego Einstein dostał nagrodę Nobla, efekt Comptona, czy „ręczne” kwantowanie oscylatora harmonicznego przeprowadzone przez Plancka. Dużo modeli i każdy z nich inny. Próbą uogólnienia była procedura kwantowania Wilsona-Sommerfelda. Objęła sobą układy związane istniejące w teorii klasycznej – niestety oznacza to, że nie ma w niej spinu ani zjawisk rozproszeniowych. Przypadki te miały spełniać jeden warunek: ruch musi być okresowy[1]. W ten sposób wchłonęła ona na przykład model Bohra. Na początku XX wieku miała ona spory udział w wyjaśnianiu zjawisk kwantowych. Dziś moim zdaniem stanowi zbędny balast, którego należy się przynajmniej z dydaktyki pozbyć[2].
Elegancja teorii warta jest opowiedzenia w czym rzecz. Jak wspomniałem dotyczy ruchów okresowych. Rozpatrzmy więc jakiś prosty przykład – ruch harmoniczny. Położenie w takim ruchu wygląda następująco:
x(t) = x0 sin(ωt)
Pęd natomiast (wystarczy zróżniczkować położenie po czasie, żeby otrzymać prędkość i pomnożyć przez masę):
p(t) = mωx0 cos(ωt)
Gdybyśmy spróbowali umieścić jak wygląda położenie i pęd na jednym wykresie, dostaniemy coś takiego:
Płaszczyzna na której namalowaliśmy „tor” takiego ruchu nazywa się przestrzenią fazową, ale mniejsza o nazwy – pozwala ona na wprowadzenie warunku kwantowania. Dozwolone są takie ruchy, dla których pole ograniczone owym torem wynosi nh, gdzie h to stała Plancka, a n=1, 2, 3… W ogólnym przypadku mielibyśmy taki warunek:
Można teraz policzyć sobie energię (kinetyczna + potencjalna) takiego ruchu. Dla wspomnianego ruchu harmonicznego będzie ona równa:
En = nωh/2π gdzie n=1, 2, 3…
Model taki ma kilka poważnych zalet z punktu widzenia estetyki i uniwersalności:
- Można go rozszerzać na dowolną liczbę stopni swobody. W powyższym przykładzie namalowałem wykres dla jednego stopnia (ruch po prostej), ale nic nie przeszkadza, żeby rozpatrywać ruch cząstki w trzech wymiarach, lub nawet dla N cząstek. Wtedy mielibyśmy ruch w przestrzeni 3Nwymiarowej, natomiast wykres ruchu byłby określony w przestrzeni 6Nwymiarowej. Wtedy warunek kwantowania zapisuje się w postaci odpowiedniej całki. Ponieważ dla takiego układu trudno wymagać, by ruch był okresowy, można zażądać, by był złożeniem potrzebnej liczby ruchów okresowych.
- Doskonale integruje się z mechaniką klasyczną, a w szczególności z tzw. ujęciem hamiltonowskim. Oznacza to między innymi, że obowiązuje dla dowolnych współrzędnych i pędów uogólnionych, a nie tylko dla kartezjańskich. „Obowiązująca” teoria kwantów nie dorobiła się tej cechy do dziś.
- Bez kłopotów da się zastosować do przypadków relatywistycznych, dzięki czemu teoria jak najbardziej „obsługuje” STW.
Oprócz zalet teoria miała również wady. Należałoby wymienić dwie: trudności rachunkowe i… niezgodność z empirią. Na przykład: żeby odnaleźć widmo danego pierwiastka, należałoby obliczyć możliwe ruchy okresowe iluśtam elektronów w polu kulombowskim jądra – a pamiętając, że już problemu trzech ciał nie da się rozwiązać, szanse żeby ruszyć z miejsca nie są za wielkie. Mimo to dla atomu helu poczyniono takie próby i wyniki obliczeń nie zgadzały się z pomiarami. Na dobrą sprawę nawet już dla atomu wodoru model się załamał, bo jeśli przyjrzeć się bliżej, spin ma jednak pewien wpływ na obserwowane widmo.
* * *
Taka ładna teoria, a została zmieciona przez wiatr historii, pisząc bardziej przyziemnie: przez prace Heisenberga i Schrödingera. I nie dlatego, że nowe modele były ładniejsze. Po prostu nowa teoria poprawnie i sprawnie przewiduje dane doświadczalne, a stara teoria nie. Tyle wystarczy, by wyrzucić ją do kosza.
Dzisiejszy przypadek pokazuje, że „następcy” starego wcale nie muszą odtwarzać wyników poprzedników. Na przykład wspomniana energia oscylatora harmonicznego w mechanice kwantowej jest inna i równa:
En = (n+1/2)ωh/2π gdzie n=0, 1, 2, 3…
[1] Ściślej biorąc: wystarczyło, że dało się znaleźć taki układ współrzędnych, nawet wybitnie krzywoliniowy, że każda ze współrzędnych zmieniała się okresowo – wtedy narzucano warunki kwantowania osobno na każdą współrzędną. Jak się wie, że potężny kawał mechaniki klasycznej bada ruchy we współrzędnych „działanie-kąt”, widać niesamowity potencjał metody Wilsona-Sommerfelda.
[2] Warto o niej wspomnieć na zajęciach z kwantowania geometrycznego albo historii fizyki. Natomiast przerabianie jej na kursie mechaniki kwantowej stanowi stratę czasu.
