Względność obserwacji...

MM&AlK

Wczytując się na forum w notki o teorii względności, o przestrzeni Galileusza i Minkowskiego, o teorii strun, czy też innych teoriach pochodnych, zawsze widzę transformację Lorentza... Dlaczego? – Po prostu lubię „starocie”. Lubię „pogrzebać” w starych notatkach. Wrócić do starych pytań i czasem starych wątpliwości. Często wracam do podstaw z których wyrastały teorie te duże i te małe. Wrócę zatem jeszcze raz do elementarza teorii względności, czyli do przekształceń Lorentza.

Punktem wyjścia są trzy tezy wywodzące się bezpośrednio z I i II zasady względności Einsteina:

a) w obu układach A i B przestrzeń i czas mają takie same właściwości;

b) prędkość światła c jest w obu układach jednakowa;

c) przejście rachunkowe od układu A do układu B zależy od względnego ruchu tych układów, tak samo jak przejście rachunkowe od B do A.

Tak więc:

1. Układ B porusza się względem układu A ze stałą prędkością V.

2. W układzie B i A znajdują się obserwatorzy.

3. Układ A i B mają kierunek zgodny a osie x pokrywają się.

4. W układzie B porusza się punkt P. Punkt P jest punktem wspólnym dla dla obserwatora w układzie A i układzie B.

Wychodząc z w/w założeń otrzymujemy po przekształceniach znane wzory, w których czas w przekształceniach Minkowskiego jest czwartą współrzędną. W odniesieniu do przyjętych założeń i wzorów zawsze wracam do pytania:

Po co (myślowo) dodano trzeciego, zewnętrznego obserwatora, który obserwatorowi A i obserwatorowi B nadaje (zgodny) kierunek współrzędnych. Jeśli dla obserwatora w układzie A, układ B oddala się z prędkością V i obserwator A, dla którego własny układ jest w spoczynku, przyjął kierunek osi x zgodnie z kierunkiem oddalającego się układu B, to dla obserwatora w układzie B, własny układ jest w spoczynku, a układ A oddala się z prędkością V'. Obserwator B zrobi tak samo... Oś x^' obserwatora B będzie skierowana w kierunku oddalającego się układu A.

Jeśli do układów dodamy odpowiednio oś y oraz y' mające kierunki zgodne, to otrzymamy jeden układ prawoskrętny i jeden lewoskrętny, przesunięte względem siebie. Transformacja jednego układu w drugi składa się z przesunięcia, obrotu i lustrzanego odbicia. Wyznacznik będzie miał wartość -1. Z uwagi na fakt, iż wyznacznik transformacji w teorii Minkowskiego także wynosi -1 rodzi się pytanie, czy nie jest to prawidłowością ... 

Rozważmy przypadek następujący:

W przestrzeni dwuwymiarowej, po prostej k porusza się punkt p. Punkt ten porusza się w dowolnym kierunku z dowolną prędkością – żaden z kierunków przestrzeni nie jest uprzywilejowany. W każdej chwili ruch punktu p obserwowany jest przez obserwatorów A, B, C poruszających się po prostej l z dowolną prędkością w dowolnym kierunku (rysunek poniżej).

Dla obserwatorów A, B oraz C, w każdej chwili, zachodzi zależność:

OP_(A) = OP_(B) = OP_(C)

Mamy więc:  R_Asin a = R_B sin b = R_C sin g

lub ogólnie:  R_n sin n = OP_(n)

Odległości i kąty, dla wszystkich obserwatorów w dowolnej chwili, są sprzężone. Dla obserwatorów znajdujących się w przestrzeni dwuwymiarowej, w dowolnej chwili, odległość między punktem p a jego rzutem, punktem p' (odcinek p-p' jest elementem przestrzeni jednowymiarowej) jest taka sama.

W przestrzeni trójwymiarowej, w której każdy z obserwatorów przyjmuje swój układ współrzędnych, mamy sytuację jak na rysunku poniżej.

W przestrzeni jednowymiarowej dla wszystkich obserwatorów, znajdujących się w takiej przestrzeni, punkt przecięcia prostych (element przestrzeni 0-wymiarowej) jest stały;

W przestrzeni trójwymiarowej dla wszystkich obserwatorów, znajdujących się w tej przestrzeni, element przestrzeni dwuwymiarowej (rzut sfery na płaszczyznę) jest stały. Wykorzystywany w astronomii (np. prawo Talesa);

W przestrzeni czterowymiarowej dla wszystkich obserwatorów znajdujących się w tej przestrzeni, element objętościowy (element przestrzeni trójwymiarowej) jest stały. Tak obserwujemy zależności w układzie słonecznym.

Wzór trzeciego prawa Keplera, w zależności od tego jak traktujemy okres N_p obiegu planety (jako czas, czy też jako liczbę), przyjmuje postać:

gdzie: 

            

            V_p – prędkość liniowa planety na orbicie.

W układzie współrzędnych otrzymujemy elementy objętościowe w których długość wektora jednostkowego v_p jest równa długości odcinka jednostkowego r_p.

Czas

W teorii względności czas jest czwartą współrzędną. Przyjmując, że prędkość światła c jest prędkością absolutną, trzecie prawo Keplera, przy założeniu: R_p = ct_p oraz: c = constans, ma postać:

Tak więc, czas t_p biegu światła ma także charakter przestrzeni. Schematyczny rysunek jak powyżej.

Otrzymaliśmy starożytną zasadę budowy trzonu kolumn w świątyniach, zgodnie z którą wysokość elementu kolumny (modułu) jest równa promieniowi (lub średnicy) kolumny. Projekt architektoniczny kolumnady (cechy jej budowy i proporcji) był zgodny z pitagorejską filozofią bytu. Wysokość i objętość trzonu kolumny, była równa krotności swej miary (promienia w przypadku wysokości trzonu kolumny lub objętości modułu, w przypadku objętości trzonu kolumny). Tak więc ilekroć jestem w współczesnej, czy też starożytnej świątyni, patrząc na kolumny podpierające stropy symbolizujące sklepienie nieba, widzę prawa Keplera, w tej najprostszej geometrycznej formie.

Nie byłbym sobą, gdym nie dołożył coś ze „staroci”:

Przy wejściu do Świątyni Salomona Hiram z Tyru, syn wdowy z pokolenia Neftalego, ustawił dwie kolumny wykonane z brązu o nazwane „Jachein” i „Abaiz”. Prorok Jeremiasz o kolumnach pisze tak:

Kolumny miały osiemnaście łokci wysokości każda, a sznur dwunastołokciowy ją opasywał; gruba na cztery palce, [w środku] była pusta...

Z dużym prawdopodobieństwem możemy przyjąć, że Hiram, budowniczy, znał i posługiwał się liczbą pi z takim samym przybliżeniem, jak starożytni Egipcjanie – czyli pi = 3,14.

Promień zewnętrzny kolumny miał 1,91 łokcia. Ściany kolumn były grube na cztery palce, czyli 1/7 łokcia = 0,14 łokcia. Promień wewnętrzny (pustki) kolumny wynosił zatem 1,77 łokcia.

Pojemność przestrzeni pustej (do wypełnienia) jednej kolumny wynosi: 177,12 łokcia³ – dwóch kolumn 354,24 łokci³. Pozornie nic ciekawego, gdyby nie fakt, iż 29,53 dni miesiąca

synodycznego × 12 miesięcy = 354,36 dni roku księżycowego. Dla przestrzeni pustej jednej kolumny (połowy roku księżycowego) mamy 29,53 × 6 = 177,18. Błąd, jaki popełnił Hiram, wynosi 0,06 dnia. Trudno uznać to jedynie za ciekawy zbieg okoliczności.

Wracając do tematu...W przestrzeni pięciowymiarowej element objętościowy przestrzeni czterowymiarowejjest dla obserwatorów taki sam(o tym wosobnejnotce).Uogólniając można powiedzieć, że dla obserwatorów znajdujących się w przestrzenin-wymiarowej, objętość elementu przestrzeni (n-1) wymiarowej (hiperprzestrzeni)jest taka sama.

Ciekawy jest fakt, że starożytni astronomowie przedstawiali prędkość i czas za pomocą wspólnego obrazu geometrycznego – odcinka...

Względność obserwacji.

Średnie odległości planet od Słońca obliczamy z trzeciego prawa Keplera, które dla naszej czasoprzestrzeni ma postać:

gdzie: R_z i N_z, to odpowiednio, średni promień orbity Ziemi i okres jej obiegu. Miarą okresu obiegu Ziemi i planet jest doba ziemska – obrót Ziemi wokół własnej osi.

To jest wszytko wiadome... Należy zatem zauważyć, że dla obserwatora np. na Marsie okres obrotu wokół własnej osi jesttrochę dłuższy niż Ziemi i wynosi 24,6229 godziny (24 h 37 min 22 s). Miarą okresu obiegu Marsa i obserwowanych planet będzie doba marsjańska.

gdzie: R_Ma i N_Ma, to odpowiednio, średni promień orbity Marsa i okres jego obiegu. Miarą okresu obiegu Marsa i planet jest doba marsjańska – obrót Marsa wokół własnej osi.

Dla obserwatora na Ziemi i obserwatora na Marsie zachodzi zależność:

Powyższe wynika z faktu, że w przestrzeni obowiązuje zasada względności obserwacji...

Jeśli obserwator na Ziemi określa odległość np. R_M(z) Merkurego od Słońca za pomocą prawa Keplera:

gdzie: N_M(z) – okres obiegu Merkurego w dobach ziemskich; N_z– okres obiegu Ziemi w dobach ziemskich;

to obserwator na Marsie określi odległość R_M(Ma) Merkurego od Słońca odpowiednio:

gdzie: N_M(Ma) – okres obiegu Merkurego w dobach marsjańskich; N_z– okres obiegu Marsa w dobach marsjańskich;

Ponieważ średni promień orbity Merkurego jest stały (położenie Merkurego w przestrzeni nie ulega zmianie), jest więc: R_M(z) = R_M(Ma)

 

stąd:

Powyższe zagadnienie podjął Kepler w powieści „Somnium, seu opus posthumum de astronomia lunari". Wydanej w Polsce pt. "Sen czyli wydane pośmiertnie dzieło poświęcone astronomii księżycowej”, przekład D. Sutkowska i J. Włodarczyk, Wydawnictwo Naukowe Scholar W-wa 2004.