MM&AlK
Przyznaję, że byłem zaskoczony czytając komentarz do notki Krzywa Freya, Twierdzenie Fermata, dowód Wilesa… i parabola. Nie przypuszczam, że pisała to osoba o wykształceniu technicznym. Nie wyobrażam sobie aby osoba mająca wykształcenie techniczne nie wiedziała, że twierdzenie Pitagorasa jest przypadkiem szczególnym równania:
xn + yn = zn , gdzie x, y, z, n są liczbami naturalnymi.
Przyjmując n = 2 otrzymujemy twierdzenie Pitagorasa będące podstawą wszystkich nauk nie tylko technicznych. Całe piękno otaczającego nas świata, w szczególności rzucające się w oczy piękno zdobyczy technicznych tkwi w tym najprostszym twierdzeniu…Twierdzenie Pitagorasa nie jest twierdzeniem banalnym. Twierdzenie udowodniono geometrycznie na ponad 100 sposobów. Istnieje wiele dowodów matematycznych w różnych odmianach… Czy można jeszcze coś dodać? Można, co wykażemy w tej notce i wykażemy w kolejnych… Już w elementarnym twierdzeniu Pitagorasa, tkwi zalążek pytań dotyczących Wielkiego Twierdzenia Fermata. Przyjmuje się, że twierdzenie Fermata zostało udowodnione… Wielu matematyków nie zgadza się z tym poglądem...
Twierdzenie Pitagorasa.
Dowód matematyczny twierdzenia Pitagorasa, w sposób bardzo przystępny, przedstawił Wacław Sierpiński na str. 29, Wstępu do teorii liczb. Dowód twierdzenia podanego poniżej znaleźć możemy i w innych publikacjach Wacława Sierpińskiego oraz podręcznikach z zakresu nauk matematycznych. Wszystkie rozwiązania właściwe równania:
x2 + y2 = z2
w których y jest liczbą parzystą, otrzymujemy ze wzorów:
x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2
biorąc jako m, n wszystkie układy dwóch liczb naturalnych względnie pierwszych, z których jedna (którakolwiek) jest parzysta, oraz m > n. Jest więc:
(1) (m2 – n2 )2 + (2rm)2 = (m2 + n2)2
Każde rozwiązanie właściwe równania otrzymujemy w ten sposób tylko jeden raz.
W podręcznikach matematyki i popularnych opracowaniach traktujących o trójkątach pitagorejskich przeczytamy, najczęściej powtarzane krótkie zdanie: Pitagoras obmyślił też prawidło odnajdywania liczb naturalnych dla swych trójkątów. Prawidło to w symbolice dzisiejszej wyraża się wzorem:
(2) (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2
Przemyślenia własne
Podamy trzeci własny wzór w którym wartości x, y, z wynoszą:
x = k(2r + k) ; y = 2r(r + k) ; z = 2r(r + k) + k2 = 2r2 + k(2r + k)
gdzie: k, r są liczbami naturalnymi. Równanie przyjmie postać:
(3) [k(2r + k)]2 + [2r(r + k)]2 = [2r(r + k) + k2 ] 2
Nasze równanie (3) jest równaniem ogólnym, w którym równanie (1) i (2) są przypadkami szczególnymi.
Jeżeli w równaniu (3) przyjmiemy r + k = m, wzory przyjmują znaną postać:
x = (m – r)(m + r) = m2 – r2 ; y = 2rm ; z = 2r2 + (m2 – r2 ) = m2 + r2.
(m2 – r2 )2 + (2rm)2 = (m2 + r2)2.
Jeżeli w równaniu (3) przyjmiemy k = 1 wówczas otrzymamy równanie pitagorejskie jest bowiem:
(2r + 1)2 + (2r2 + 2r)2 = ( 2r2 + 2r + 1)2
Jeśli w równaniu (3) przyjmujemy r = 1, wówczas wzory przyjmują jeszcze inną ciekawą postać:
y = 2(k + 1) ; x = k(k + 2) ; z = 2(k + 1) + k2.
Zależność bardzo łatwo udowodnić – dowód wynika wprost z tożsamości:
[k(k + 2)]2 + [2(k + 1)]2 = [2(k + 1) + k2]2
Banalne ale ciekawe…
Analizując wzory możemy zadać pytanie: Czy potrzebne są wzory do znajdowania podstawowych trójek pitagorejskich? Prosta analiza mówi, że nie... Jest bowiem:
1. Każda liczba nieparzysta Nnp > 1 lub jej potęga jest sumą kolejnych liczb naturalnych i różnicą kwadratów tych liczb. Jest bowiem:
2k + 1 = (k + 1) + k = (k + 1)2 – k2
Zatem na wstępie doszliśmy do Wielkiego Twierdzenia Fermata… Jeżeli przyjmiemy, że równanie:
cn – bn = an,
gdzie c, a są liczbami naturalnymi nieparzystymi b jest liczbą naturalną parzystą, ma rozwiązanie w liczbach naturalnych, to różnica n-tych potęg liczb c, b jest równa różnicy kwadratów kolejnych liczb naturalnych.
Mamy bowiem: an = [(an – 1)/2 + 1]2 – [(an – 1)/2]2 = cn – bn.
Jeśli udowodnimy, że jest to niemożliwe dla liczb naturalnych, udowodnimy Wielkie Twierdzenie Fermata…
2. Kwadrat liczby parzystej jest różnicą kwadratów kolejnych liczb parzystych (dla liczby k nieparzystej) lub nieparzystych (dla liczby k parzystej).
(2k)2 = (k2 + 1)2 – (k2 – 1)2
Przykłady:
142 = (2 × 7)2 = (72 + 1)2 – (72 – 1)2;
282 = (2 × 14)2 = (14 + 1)2 – (14 – 1)2.
3. Dowolna potęga, n > 2 liczby parzystej, jest różnicą kwadratów kolejnych liczb nieparzystych. Jest bowiem:
(2k)n = (2n – 2kn + 1)2 – (2n – 2kn – 1)2.
Jeżeli przyjmiemy, że równanie: cn – an = bn,
gdzie c, a są liczbami naturalnymi nieparzystymi b jest liczbą naturalną parzystą, ma rozwiązanie w liczbach naturalnych, to różnica n-tych potęg liczb c, a jest równa różnicy kwadratów kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Mamy bowiem:
bn = (2k)n = (2n – 2kn + 1)2 – (2n – 2kn – 1)2 = cn – an ….
4. Dla liczb parzystych postaci 2n, gdy n > 2 zachodzi z kolei zależność:
2n = 2[(2n – 2 + 1) + (2n – 2 – 1)] = (2n – 2 + 1)2 – (2n – 2 – 1)2.
Tak więc n-ta potęga liczby 2 dla n > 2 jest podwojoną sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych i różnicą kwadratów tych liczb.
