Wyobraźmy sobie, że obserwujemy pogodę za oknem. Uprośćmy sobie sprawę i przyjmijmy, że interesuje nas tylko czy deszcz pada czy nie. Ułatwmy sobie jeszcze bardziej przyjmując konwencję pozwalającą ostro oddzielić "pada" od "nie pada". W przyrodzie mamy przejście (w miarę) ciągłe, od osiadającej mgły po oberwanie chmury, nasza konwencja pozwala nam na zapisywanie stanu pogody przy użyciu tylko dwu znaków, na przykład p (pada) i n (nie pada). Możemy też użyć zer i jedynek. Jak? Umawiając się, że będziemy notować wartość logiczną (prawda-1, fałsz-0) zdania "deszcz pada". Możemy dostać wtedy powiedzmy: 000010111... (jak widać najpierw nie padało). Dla uproszczenia przyjmijmy, że nasze obserwacje prowadzimy nieskończenie długo. Mamy zatem nieskończenie długi łańcuch binarny reprezentujący stan pogody za pewnym oknem jakiegoś nieskończonego świata. Innym oknom odpowiadają zapewne inne łańcuchy. Ale nieskończone łańcuchy mogą reprezentować także inne obiekty niż stan pogody w wyobrażonych i niezbyt realistycznych światach. Na przykład liczby rzeczywiste. Wszak każda może być przedstawiona w postaci nieskończonego roazwinięcia dziesiętnego czy w systemie dwójkowym binarnego. Nie tylko liczby. Także całe światy wraz z ich historią mogą być tak przedstawione. Pomysł pochodzi od Leibniza, a udoskonalony i rozwinięty został przez Wittgensteina i Kripkego. Wyobraźmy sobie zbiór wszystkich zdań, prostych zdań orzekających, stwierdzających jakieś fakty, mówiących że tu pada a tam nie, to jabłko jest czerwone a tamto zielone itp. Zdań takich jest policzalnie nieskończenie wiele. Ponumerujmy je:
123456...
Powiedzmy, że w naszym świecie prawdziwe są pierwsze trzy a kolejne trzy fałszywe. Możemy więc rozpocząć opisywanie:
000111...
No tak ale przecież możliwe są jeszcze inne łańcuch i odpowiadające im "światy" (czy mogłyby one istnieć "realnie" to nas tutaj nie obchodzi). W ten sposób konstruujemy zbiór "światów" możliwych (przynajmniej kombinatorycznie możliwych). Każdemu odpowiada pewna liczba rzeczywista i gdzieś tam między nimi znajduje się ten nazywany "naszym". Zadajmy pytanie:
Dla ilu światów istnieją skończone ich teorie?
Co rozumiemy tu przez "teorię"?
Teoria to generator łańcucha świata, czyli pewien algorytm pozwalający na jego obliczanie (generowanie). Taki algorytm możemy także przedstawić ("zakodować") w postaci łańcucha binarnego. Długość najkrótszego łańcucha (B) kodującego dany łańcuch (A) nazywamy jego (A) złożonością obliczeniową. Jest to, co do zasady, złożoność Kołmogorowa łańcucha A chociaż w oryginalnych pracach Andrieja Nikołajewicza Kołmogorowa wielkość ta jest wprowadzana w sposób nieporównanie bardziej finezyjny i ścisły. Jednocześnie łańcuch generatora (B) to nic innego jak skompresowany łańcuch A. W razie potrzeby możemy przecież zastąpić A przez B i zaoszczędzić tym sposobem więcej lub mniej miejsca cennej przecież i ograniczonej pamięci. Powróćmy do naszego pytania: dla ilu światów istnieją skoczone teorie/generatory? Czyli: ile światów ma skończoną złożoność obliczeniową? Czyli: ile światów jest kompresowalnych do skończonych łańcuchów? Wszystkie te pytania są równoważne. Wszystkich łańcuchów nieskończonych jast 2^alef zero [niestety tutejszy edytor ma ograniczone możliwości]. Z kolei skończonych teorii (generatorów) dowolnej długości jest alef zero czyli tyle ile liczb naturalnych. Wynika z tego, że na każdy świat dla którego istnieje skończona teoria przypada nieskończenie wiele światów, których teorie są nieskończone. Zatem prawdopodobieństwo, że żyjemy w świecie dla którego taka teoria istnieje jest zerowe. Dokładniej: zaniedbywalne z dokładnością do miary zero. Jednym słowem większości liczb rzeczywistych nie potrafimy (systematycznie) obliczać, a losów większości światów przewidywać. Tylko dla wyjątkowych liczb istnieją skończone recepty pozwalające na ich wyliczenie. Twierdzenie tego rodzaju jako pierwszy sformułował Alonso Church.
Komentarze
Pokaż komentarze (3)