37 obserwujących
233 notki
207k odsłon
189 odsłon

Kłopotliwe twierdzenie Noether

Wykop Skomentuj5

Zacznę od (prawdziwej) anegdoty z IV piętra. Na jednym z wykładów z mechaniki klasycznej wykładowca tak mniej więcej zaczął swój przekaz: Zdaję sobie sprawę,  że to, co wykładam może być trudne, ale zawsze mogłem liczyć przynajmniej na jednego słuchacza, który zrozumie wykładany materiał. Myślę o sobie. Niestety, dziś nie mogę liczyć nawet na tego jednego. O czym miał mówić ów fizyk? O twierdzeniu Emmy Noether.

Jest to bardzo ważne twierdzenie w fizyce, bo łączy dwie rzeczy: symetrie i prawa zachowania. No i jeśli nie jesteś fizykiem czy matematykiem, to możesz nie chcieć czytać dalej, ale zachęcam, by tak nie robić i mimo wszystko zajrzeć do dalszej części tekstu.[1]

Zanim zaczniemy, jedna uwaga dla osób, które twierdzeniem już znają: Rozpatruję przykład, gdzie siły nie zależą od czasu oraz nie biorę pod uwagę symetrii związanych z czasem. Wbrew pozorom uwzględnienie jawnej zależności od czasu, wymaga poszerzenia modelu i nie jest tylko dopisaniem jednej literki t.

Twierdzenie

Do jednego z najważniejszych twierdzeń w fizyce – wyrażonego we współczesnej postaci –  potrzebne są trzy rzeczy:

  • specjalna funkcja, której dziedziną są  położenia i prędkości, nazywana lagranżianem;
  • symetrie (przekształcenia dziedziny lagranżianu) zachowujące wartości lagranżianu;
  • wzór z którego wyliczymy stałe ruchu (prawa zachowania), czyli „treść” twierdzenia.

Można przygotować sobie te rzeczy tak, żeby samo twierdzenie było łatwe do ogarnięcia, można tak zaciemnić sprawę, że pozostanie nam dzielenie losu z wykładowcą z początkowej anegdotki. Spróbujmy przejrzeć te punkty.

Lagranżian L jest funkcją, której dziedziną jest zbiór możliwych położeń i prędkości. Zwykle pisze się lagranżiany, wręcz ukrywając fakt, jaka jest ich dziedzina, bo w przeciwnym razie może to rodzić niepotrzebną ciekawość i wątpliwości u młodych fizyków. Niektóre podręczniki niesłusznie i mętnie sugerują, że w operacjach z udziałem funkcji L wystarczy posługiwać się zbiorem samych położeń, czyli tzw. przestrzenią konfiguracyjną – nazwę ten zbiór M. Ale jak ktoś już chce jednak wiedzieć, to dowie się, że dziedzina L nazywa się przestrzenią styczną i oznacza się go TM. Zarówno nazwa jak i oznaczenie nie są jednak istotne dla niniejszej notki. Dla nas będzie ważne, że TM to zbiór możliwych położeń q i prędkości v:

L: TM ∋ (q, v) ↦ L(q,v) ∈ R

Zapis q oznacza symbolicznie wszystkie współrzędne położenia qi. Podobnie dla prędkości – będziemy mieli tyle współrzędnych vi, ile jest stopni swobody. Współrzędne te pojawią się we wzorze końcowym twierdzenia.

Istnieją mniej lub bardziej szczegółowe przepisy, jaka ma być L, żeby odpowiadała danemu przypadkowi fizycznemu.

Funkcja L służy do rozwiązywania tzw. równań Lagrange'a, czyli dowiedzenia się, jak będą wyglądały położenie i prędkość ciała w przyszłości (i jak wyglądały w przeszłości), jeśli znamy jego początkowe położenie i prędkość. W samym twierdzeniu Noether, równania te jawnie nie występują, choć są rzecz jasna wykorzystywane w dowodzie.

Pora na symetrie. Nie będę szczegółowo objaśniał czym są, bo połowa poprzedniej notki jest temu poświęcona. Przypomnę, że na podstawie jednoparametrowej grupy przekształceń ψs na M, znajdujemy jednoparametrową grupę ϕs na docelowym zborze, czyli TM. I tu jest mały zgryz, bo na pierwszy rzut oka wcale nie widać, jak na podstawie transformacji

ψs: M ∋ q ↦ ψs(q) ∈ M

odnaleźć odpowiadającą jej transformację φs również dla prędkości:

φs: TM ∋ ( q, v ) ↦ φs(q ,v)  ∈ TM

image

Znaczy się dla konkretnych przypadków, które są przykładami w podręcznikach (przesunięcia, obroty), przekształcenia na prędkościach są trywialne i nie budzą wątpliwości. Skoro jednak mamy ogólne twierdzenie, wypadałoby wiedzieć, jak to działa w przypadku ogólnym. Ciekawskich odsyłam do świetnego podręcznika „Metody matematyczne mechaniki klasycznej” W. Arnolda.

Wracajmy do wyliczanki. Wypisuję założenie twierdzenia: φs jest takim przekształceniem na TM, że langranżian jest niezmienniczy:

∀ (q, v) ∈ TM: L( q, v ) = L( φs(q, v) )

No i teza: Jak mamy to wszystko co powyżej, to dla każdej symetrii φs istnieje jedna całka ruchu I, czyli taka funkcja na TM, że rozwiązania równania  Lagrange'a nie wychodzą poza jej poziomice. Innymi słowy trajektorie (qt, vt) „poruszają” się po poziomicach I, czyli   I( qt, vt ) = const dla każdego t. No to jeszcze wypiszmy ten wzór na całkę:

image

Ten drugi człon iloczynu trochę straszy wyglądem, ale jest dość oczywisty przy obliczeniach, co zobaczymy na przykładzie już za chwilę. Powyższy wzór nie jest ładny, bo jawnie zależy od konkretnego układu współrzędnych na przestrzeni TM. Ze znanych mi podręczników, jedynie W. Arnold pochyla się nad niezależnością całki ruchu od wyboru układu.

II prawo Keplera

Skoro tyle powypisywałem wzorów, uzasadniając, że to łatwe, pora na przykład. Przykładem tym będzie wyprowadzenie II prawa Keplera za pomocą twierdzenia Noether.

Wykop Skomentuj5
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale