Moduł funkcji falowej – różne różności

W pięciu poprzednich wypiskach (seria q-obrazki) pokazywałem dla kilku modeli mechaniki falowej, jak w czasie zmienia się prawdopodobieństwo znalezienia cząstki. Czyli wychodziłem od funkcji falowej ψ(x,t) ale ponieważ jasne znaczenie fizyczne ma dopiero kwadrat modułu takiej funkcji, to na wykresie widać było |ψ(x,t)|². Matematycznie oznacza to, że startowałem od dwóch funkcji rzeczywistych i obcinając informację zawartą w fazie, ograniczałem wyniki do jednej funkcji rzeczywistej.

Pojawia się pytanie o to, gdzie w funkcji falowej umieszczona jest informacja o parametrach opisywanej cząstki. W pierwszym przybliżeniu, nie do końca prawdziwie, można powiedzieć, że dane o położeniu zawarte są w module wartości funkcji, natomiast o prędkości (pędzie) głownie w fazie. Każdą funkcję zespoloną da się zapisać jako iloczyn:

Wtedy dodatnia funkcja ρ=|ψ|² oznacza gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, a wektor w=(ħ/m)gradS pole „prędkości” prawdopodobieństwa. Taki obrazek jest dość intuicyjny i pomocny w ocenie, jakie własności ma konkretna funkcja falowa. Przykładowo: dostaniemy jednorodne pole prędkości prawdopodobieństwa przy fazie, która zależy liniowo od jakiegoś kierunku przestrzennego. Tak jak na obrazkach poniżej – „powolna” paczka falowa (dla jednego wymiaru):

dwa razy szybsza:

i cztery razy szybsza:

A teraz niespodzianka: Otóż dla mechaniki falowej, czyli przypadku, kiedy równanie Schrödingera jest postaci:

to w jego rozwiązaniu czyli w zespolonej funkcji falowej ψ(r,t) mieści się tyle samo informacji co w gęstości ρ(r,t). Innymi słowy wiedza, jak zmienia się moduł funkcji falowej, powinna wystarczyć do odnalezienia fazy. Może bardziej ścisłe jest powiedzenie, że moduł rozwiązania równania Schrödingera, wyznacza fazę. To zaskakujące twierdzenie znalazłem w książce I. Białnickiego-Biruli, M. Cieplaka i J. Kamińskiego „Mechanika falowa” (str. 59). Zachęcam do zajrzenia – dowód krótki i przez to ciekawy. Jego autorem był doktorant, niejaki Feenberg. Owo twierdzenie ma jeszcze jedną ciekawą konsekwencję, o czym dalej.

Stany stacjonarne

Powyżej napisałem równanie Schrödingera, które zwykle trudno rozwiązać. Łatwiej rozwiązać inne równanie, też nazywane nazwiskiem Schrödingera, tyle, że stacjonarne:

Nie ma ono w sobie czasu, więc do nie nadaje się do badania jak zmieniają się stany w czasie, ale i tak daje wiele ciekawych informacji, więc warto je rozwiązywać. Rozwiązywać, to znaczy przy danym V(r) trzeba znaleźć E i φ(r). Nazywa się to, że stany φ(r) są stanami własnymi operatora energii. No i jak się takie funkcje znajdzie to okazuje się, że spełniają one również to czasowe równanie Schrödingera. A dokładniej chodzi o takie stany:

Jak widać cała zależność od czasu tkwi w globalnej, czyli niemierzalnej fizycznie, fazie. Czyli moduł funkcji ψ, a co za tym idzie gęstość ρ nie zmienia się w czasie.

Ciekawe czy działa to w drugą stronę? To znaczy, czy stany dla których ρ nie zależy od czasu są również stanami własnymi energii? Pytanie wcale nie jest oczywiste (zadał je BJAB u prof. Jadczyka)[1]. Nieznacznie modyfikując dowód wspomnianego twierdzenia Feenberga, łatwo pokazać, że jeśli ψ jest rozwiązaniem równania Schrödingera i |ψ| nie zależy od czasu, to ψ jest, z dokładnością do globalnej fazy, rozwiązaniem stacjonarnego równania Schrödingera.

Kiedyś próbowałem dla sportu przypomnieć sobie dowód, ale nie przypomniałem sobie i wymyśliłem sobie inny[2]. No i skoro o tym piszę, to się pochwalę, choć pewnie już przede mną ktoś to wymyślił.

Skoro |ψ| nie zależy od czasu, to znaczy, że zależność ta może mieścić się tylko w fazie S(r,t). Rozłóżmy taki stan w bazie operatora energii φ_i:

Wystarczy zróżniczkować sobie wektor po czasie, by dla każdej składowej dostać:

Chwila zastanowienia i wiadomo, że żeby powyższe równania były prawdziwe, tylko jedna współrzędna a_i≠0. Czyli stan jest stanem własnym energii.

Uwagi różne

Kiedy taką funkcję falową ψ(r) przerobimy transformatą Fouriera, dostaniemy funkcję, której dziedziną będzie przestrzeń pędów ψ(p). Kwadrat modułu tej funkcji jest równy gęstości prawdopodobieństwa, że cząstka ma pęd p. Przejście z położeń do pędów powoduje, że faza i moduł w pewnym sensie „wymieniają się” informacją.

* * *

Kiedyś powątpiewałem, czy interpretację |ψ(r)|² jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, da się odnieść do elektronu w atomie. No i przyznaję – nie miałem racji. W ramach swojego doktoratu, Aneta Stodolna wraz z kolegami w pomysłowym eksperymencie uzyskała „zdjęcia” odpowiadające właśnie tej gęstości. Jestem pod bardzo dużym wrażeniem. Dokładniej pisał o tym prof. Eine, więc nie będę powtarzał w czym rzecz.

* * *

Skoro w notce przywołałem dwóch doktorantów, do trzech razy sztuka, choć przykład w sumie nie na temat. Koncept fal materii, który po sformalizowaniu przerodził się w równanie Schrödingera, też pochodził z pracy doktorskiej, późniejszego noblisty Louisa de Broglie'a. Kiedyś w „Młodym Techniku” była rubryka poświęcona fizyce i napisali tam (opieram się na swojej ułomnej pamięci, wiec mogę coś przekręcić), że gdyby nie arystokratyczny tytuł de Broglie'a, to nie przyjęto by mu tego doktoratu, bo zawierał zbyt dużo spekulacji a za mało „twardej” wiedzy.
 

[1] ψ(r) jest współrzędną wektora ψ w reprezentacji położeniowej. To, że moduły współrzędnych nie zmieniają się w czasie, nie musi nic ciekawego oznaczać: Np. dla reprezentacji energetycznej moduły współrzędnych pozostają stałe w czasie dla jakichkolwiek stanów, będących rozwiązanie równania Schrödingera.

[2] Prawdę mówiąc, to co tu napisałem to nie jest ścisły dowód, a jedynie szkic. Przyjęte są upraszczające założenia, że mamy dyskretne niezdegenerowane widmo energii, nośnik wektorów własnych jest prawie całą R³ i może jeszcze jakieś. Kiedyś nawet przeliczyłem sobie, że owe warunki i tak nie są istotne, tylko wyprowadzenie będzie dłuższe.