4. Wpływ wirów za samolotem na struktury na ziemi

W rozdz. 2 rozważyłem dość dokładnie kwestię palenia i burzenia hipotetycznych struktur przez strugi  PLF101 lecącego koło 'pancernej' brzozy. Okazało się, że strugi nie są groźne ani termicznie, ani mechanicznie.

Zwróćmy się jeszcze do fizyki z czwartym pytaniem, czy 'downwash' lub wiry koncówkowe (wingtip vortices) bardzo nisko lecącego samolotu mogą spowodować przewrócenie lub zniszczenie komórki, domku drewnianego, czy czegoś podobnego?

Podam najprostsze obliczenie, ale uprzedzam, ze nie uwzglednia ono tego, ze wir tupolewa jest nie pojedynczym wirem koncowkowym tylko jest suma wirow zrzucanych na duzej dlugosci skrzydla. nie uwzglednia ono tez efektu gruntowego. tu jednak zalezy nam na szybkiej i przyblizonej odpowiedzi, nie wymagajacej szczegolowych rachunkow, takich jakie moze opisze pozniej.  bedzie to odgorne oszacowanie charakterystycznych predkosci powietrza wzbudzanych w rozsadnej odleglosci 10 m od liniowego wiru koncowego, ktory w tym uproszczonym modelu zastepuje wszystkie indywidualne wiry skosnego skrzydla tupolewa. zaczne od wyprowadzenia prawa Kutty-Zukowskiego (jest to poprawny dowod heurystyczny, czyli taki troche na skroty). na koniec przetlumacze to oszacowanie na nadcisnienie dynamiczne i wtedy ocenimy na ile moze byc destrukcyjne.

Wezmy kawalek skrzydla nie skosnego o dlugosci Δy (uprzedzalem, ze bedzie to uposzczony opis skrzydla, maksymalizujacy wzbudzone pole predkosci, stad proste skrzydlo). niech  V = v + δv bedzie predkoscia powietrza przy gornej powierzchni skrzydla, zas V = v (predkosc samolotu) predkoscia powietrza na dolnej powierzchni skrzydla.

Cyrkulacja Γ, czyli calka liniowa z predkosci powietrza wzdluz zamknietej drogi calkowania wiodacej dokola profilu skrzydla, to mniej wiecej szerokosc skrzydla, s , razy roznica predkosci na gorze i na dole,

Γ = s δv

Siła nośna ΔF  to pole powierzchni skrzydla s*Δy, razy roznica cisnien, ktora wezmiemy ze slynnego rownania Bernoulliego, p/ρ + (1/2) V² = const. ,  mowiacego ze im szybszy przeplyw, tym mniejsze cisnienie.

Δp= (1/2) ρ Δ(V²),

gdzie ρ jest gestoscia powietrza, a Δ(V²) = (v + δv)² - v² jest roznica kwadratu predkosci na gorze i na dole profilu. mamy wiec, po pominieciu malego (δv)² 

ΔF = ρ s Δy v δv = Γ v ρ Δy,  czyli innymi slowy

ΔF/Δy = Γ v ρ.

To właśnie zapowiadane twierdzenie o sile nośnej i cyrkulacji opływu wokół skrzydła, leżące u podstaw lotnictwa. Zostalo odkryte niezależnie przez Kutte i Żukowskiego w pierwszej dekadzie 20-go wieku. Mówi, że siła nośna na jednostkę długości skrzydła (ΔF/Δy) to cyrkulacja Γ pola prędkości wokół profilu razy gęstość powietrza, razy prędkość samolotu.

Mamy Γ = v ρ ΔF/Δy. jesli wstawimy tu za Δy rozpietosc y skrzydel tupolewa, a za siłę nośną ΔF cały jego ciężar równy W razy 1.3 (takie bylo rejestrowane przeciążenie w okolicach brzozy, 1.3g), to dostaniemy oszacowanie cyrkulacji wiru równoważnego pod wzgleędem siły nośnej jego skrzydlom w interesujacym nas momencie:

Γ = 1.3 W/(v ρ y).

Wiedząc, że ten sam wir odpowiedzialny za F zagina sie i jest zrzucany na koncu skrzydla jako dwa wiry koncowkowe, od razu rozumiemy, ze downwash zwiazany z sila nosna i downwash od wiru koncowkowego sa podobnej wielkosci. do oceny tych zaburzen predkosci pod samolotem wystarczy wiec jedno oszacowanie.

pole predkosci powodowane przez prostoliniowy nieskonczony wir to v(r) = Γ /(2 π r), w odleglosci od wiru rownej r.  chcemy teraz dostac oszacowanie na v_rot, tj. ile km/h wieje wiatr w kierunku od samolotu, w wirze koncowkowym w punkcie oddalonym o r = 10 m od konca skrzydla. (biore 10 m, czyli 0.3 rozpietosci skrzydla, a nie jakas mniejsza wartosc, aby uniknac zupelnie sztucznego zawyzonego wyniku w przypadku zblizenia sie do osobliwosci wiru liniowego. w istocie bowiem ten wir to nie jest wir liniowy tylko warstwa wirowa (vortex sheet) zlozona z wielu konkurujacych ze soba wirow, co w rzeczywistosci wspaniale eliminuje osobliwe zachowanie predkosci w poblizu linii naszego wiru).przyczynia sie do tego dodatkowo skos skrzydla (delto-ksztaltnosc).

v_rot(r) = Γ /(4 π r)

(roznica wspolczynnikow 2 wczesniej i 4 teraz bierze sie stad, ze wir koncowkowy nie jest nieskonczony tylko pol-nieskonczony, stad pol predkosci pod linia skrzydla).

v_rot = 1.3 W/(4 π r v ρ y)

poniewaz 1.3 W ~ 102 ton sily ~ 1000 kN, wiec

v_rot = 1000 kN/(4 * 3.14 * 75 m/s * 1.28 kg/m³ * 10 m) = 82 m/s

pamietajmy, ze to bylo zawyzone oszacowanie predkosci w wirze od prostoliniowego skrzydla, ktore zrzuca tylko dwa wielkie wiry. w rzeczywistosci, sidewash/downwash od wiru koncowkowego pewnie nie przekroczy v_rot ~ 50 m/s, a wiec dzialajac na jakis przedmiot nie wywola na nim cisnienia dynamicznego wiekszego, niz

p = (1/2) ρ v_rot² = 0.5*1.28*50² N/m² = 1600 N/m² = 0.016 atm

* * *

czy jest to duze nadcisnienie? nie.

w praktyce wyburzania przy uzyciu eksplozji, a wiec fal uderzeniowych, nie dajacych szansy na wyrownanie cisnienia w trakcie narastania cisnienia po jednej stronie sciany, drzwi lub okna, takie cisnienie byloby nie destruktywne, ale tez nie duzo mniejsze od potencjalnie destruktywnego. uwaza sie, ze do zniszczenia szyby szklanej potrzeba nadcisnienia 0.02...0.07 atm, do zburzenia lekkiej scianki dzialowej 0.07 atm, do zburzenia porzadnej, nieobciazonej sciany ceglanej 0.10-0.15 atm. niestety nie znalazlem oceny wytrzymaloci malej budki. moge ocenic, ze jest tez rzedu ~0.1 atm nadcisnienia, bo drewno nie kruszy sie tak jak sciana z cegiel i w istocie znaczni lepiej przenosi naprezenia zwiazane np. z trzesieniami ziemi. mieszkalem kiedys w domku z redwoodu, poddanego czestym wstrzasom - nic mu sie nigdy nie stalo.

jednak w naszym przypadku nadcisnienie nie przyszlo z fala uderzeniowa, a naroslo dosc wolno wraz z przesuwajacym sie bardzo przeciez poddzwiekowo samolotem. slabo zbita komorka przepuszcza powietrze i pozwala na czesciowe wyrownanie cisnien. wniosek stad, ze oszacowane nadcisnienie dynamiczne powodowane przez wirujace za samolotem powietrze  (~0.02 atm) nie moze w zaden sposob zburzyc domku czy latryny. jest mozliwe, ze potlucze w takiej budowli szyby (jesli przeplyw indukowany przez skrzydlo bedzie odpowiednio do nich ulozony).

nie jest to w zadnej sprzecznosci z groznym wplywem wake turbulence (niedobra lotnicza nazwa na wingtip vorticity) na stabilnosc wolnego lotu na podejsciu do ladowania malego samolotu, podazajacego w odstepie mniejszym niz 2 minuty za ciezkim samolotem.