Abstrakt
Artykuł analizuje matematykę w perspektywie modalno-autopoietycznej teorii znaczenia oraz logodygmatu jako zasady ekonomii organizacji sensu. Punktem wyjścia jest teza, że współczesna matematyka coraz mniej funkcjonuje jako opis „substancjalnych bytów matematycznych”, a coraz bardziej jako system relacyjnej stabilizacji struktur operacyjnych. Tekst argumentuje, że:
matematyka nie rozwija się wyłącznie poprzez odkrywanie gotowych obiektów,
lecz:
poprzez organizację przestrzeni możliwych operacji formalnych,
a logodygmat ujawnia się jako tendencja do generowania maksymalnej organizacji teorii przy minimalnej liczbie aksjomatów i zasad.
Szczególnej analizie poddano:
przejście od klasycznej ontologii liczby,
aksjomatyzację matematyki,
twierdzenia Kurt Gödel,
teorię kategorii,
oraz autoreferencyjność systemów formalnych.
Artykuł proponuje rozumienie matematyki jako autopoietycznego systemu modalnej stabilizacji relacji formalnych.
1. Wprowadzenie
Klasyczna matematyka:
interpretowana była:
jako:
odkrywanie obiektywnych bytów formalnych.
Liczby:
traktowano:
jako:
stabilne obiekty,
posiadające:
własną ontologiczną strukturę.
Współczesna matematyka:
coraz bardziej:
przesuwa uwagę:
z:
„rzeczy matematycznych”
na:
relacje,
operacje,
struktury,
i przestrzenie możliwości formalnych.
W tym sensie:
matematyka
okazuje się:
szczególnie bliska:
modalno-autopoietycznej teorii znaczenia.
2. Matematyka klasyczna i ontologia substancji
2.1. Liczba jako byt
Od Plato
po:
klasyczny realizm matematyczny,
liczby:
posiadały:
charakter:
quasi-substancjalny.
Matematyka:
miała:
odkrywać:
istniejący porządek formalny.
2.2. Prawda matematyczna
Twierdzenie matematyczne:
interpretowano:
jako:
odkrycie
obiektywnej prawdy strukturalnej.
To:
odpowiednik:
klasycznej ontologii natury.
3. Logodygmat matematyki
3.1. „Jednym opisać więcej”
Matematyka:
od początku:
realizowała:
logodygmatyczną ekonomię sensu.
Minimalna liczba aksjomatów:
organizowała:
ogromne pola teorii.
Powstaje:
minimum aksjomatów→maksimum organizacji formalnej
3.2. Aksjomaty jako stabilizatory modalności
Aksjomat:
nie opisuje:
pojedynczego obiektu,
lecz:
stabilizuje:
przestrzeń możliwych operacji formalnych.
To:
logodygmat systemu matematycznego.
4. Matematyka jako przestrzeń modalna
4.1. Potencjalność struktur
Nowoczesna matematyka:
coraz bardziej:
operuje:
przestrzeniami możliwości.
Np.:
geometrie nieeuklidesowe,
topologie,
algebry abstrakcyjne,
przestrzenie Hilberta.
Matematyka:
nie opisuje już:
jednego świata,
lecz:
wiele możliwych struktur formalnych.
4.2. Modalność formalna
Powstaje:
matematyka:
nie tyle:
„rzeczywistych obiektów”,
co:
modalnych konfiguracji operacyjnych.
5. Gödel i kryzys domknięcia
5.1. Autoreferencyjność systemu
Kurt Gödel:
pokazał,
że:
wystarczająco bogaty system formalny
nie może:
całkowicie wyjaśnić samego siebie¹.
Powstaje:
strukturalna niezupełność.
5.2. Modalność nieskończona
System formalny:
zawsze:
utrzymuje:
przestrzeń twierdzeń nierozstrzygalnych.
Czyli:
matematyka:
nie osiąga:
absolutnego domknięcia modalności.
To fundamentalny moment meta-teoretyczny.
6. Teoria kategorii i relacyjność
6.1. Od obiektów do relacji
Współczesna teoria kategorii:
przesuwa uwagę:
z:
obiektów,
na:
relacje pomiędzy strukturami.
Obiekt:
przestaje być:
całkowicie pierwotny.
Pierwotne:
stają się:
morfizmy,
przejścia,
i transformacje.
6.2. Matematyka operacyjna
Matematyka:
coraz bardziej:
organizuje:
operacje,
a nie:
substancjalne byty.
To:
modalno-operacyjna ontologia matematyki.
7. Matematyka i autopoiesis
7.1. Reprodukcja struktur formalnych
Matematyka:
reprodukuje:
własne struktury operacyjne.
Nowe teorie:
powstają:
z transformacji wcześniejszych systemów formalnych.
To:
autopoietyczny charakter matematyki.
7.2. Matematyka jako system autoreferencyjny
System formalny:
generuje:
własne meta-poziomy:
logikę,
meta-logikę,
teorię dowodu,
teorię modeli.
Matematyka:
staje się:
systemem:
samoreprodukujących się operacji formalnych.
8. Decyzja matematyczna jako redukcja modalności
8.1. Aksjomatyczny wybór
Współczesna matematyka:
często:
nie rozstrzyga:
jednej absolutnej struktury.
Następuje:
wybór:
aksjomatów,
logiki,
lub modelu formalnego.
8.2. Analogiczność strukturalna
Powstaje analogia:
9. Matematyka i znaczenie
9.1. Znaczenie formalne
W matematyce:
znaczenie:
nie wynika wyłącznie:
z referencji,
lecz:
z:
pozycji operacyjnej w systemie relacji formalnych.
9.2. Modalno-autopoietyczna teoria znaczenia
Matematyka:
ujawnia,
że:
znaczenie może być organizacją operacji,
a nie:
reprezentacją rzeczy.
To szczególnie ważne dla:
modalno-autopoietycznej teorii znaczenia.
10. Meta-modalność matematyki
Najbardziej radykalna konsekwencja brzmi:
matematyka
nie opisuje wyłącznie bytów formalnych,
lecz:
organizuje przestrzenie możliwych operacji i relacji.
Prawda matematyczna:
okazuje się:
historycznie i aksjomatycznie stabilizowaną konfiguracją formalną.
11. Wnioski
Historia matematyki:
ujawnia:
przesunięcie:
od:
ontologii liczby
ku:
ontologii relacji i operacji formalnych.
Aksjomaty:
stabilizują:
przestrzenie modalne.
Twierdzenia:
organizują:
pola możliwości.
Systemy formalne:
reprodukują:
własne struktury.
W tym sensie:
matematyka
funkcjonuje:
jako:
Przypisy
Kurt Gödel, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (1931).
Bibliografia
Awodey, Steve. Category Theory. Oxford University Press, 2010.
Gödel, Kurt. “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.” 1931.
Hilbert, David. Foundations of Geometry. Open Court, 1902.
Lawvere, William; Schanuel, Stephen. Conceptual Mathematics. Cambridge University Press, 1997.
Russell, Bertrand. Introduction to Mathematical Philosophy. London: Allen & Unwin, 1919.
Komentarze
Pokaż komentarze (3)