Od relacji do relacji relacji: matematyczna krytyka i rozwinięcie logodygmatu

Abstrakt

Artykuł stanowi krytyczne rozwinięcie tekstu Matematyka modalna: logodygmat i autopoietyczna organizacja struktur formalnych. Punktem wyjścia jest uwaga, iż współczesna matematyka, zwłaszcza teoria kategorii i teoria alegorii, podważa klasyczne rozróżnienie pomiędzy obiektami i relacjami. Relacje mogą bowiem stawać się obiektami dalszych operacji, zaś relacje pomiędzy relacjami tworzą kolejne poziomy organizacji formalnej. W konsekwencji matematyka nie tylko organizuje struktury, lecz ujawnia możliwość nieskończonego przechodzenia od relacji do relacji wyższego rzędu. Artykuł argumentuje jednak, że problem logodygmatu nie dotyczy samej możliwości generowania kolejnych poziomów formalizacji, lecz stabilizacji określonych poziomów organizacji jako poznawczo, komunikacyjnie i społecznie istotnych.

1. Wprowadzenie

W klasycznym obrazie matematyki zakłada się zwykle istnienie dwóch poziomów:

obiektów,

relacji pomiędzy obiektami.

Takie rozumienie obecne było zarówno w tradycji arystotelesowskiej, jak i w nowożytnych koncepcjach matematyki opartych na teorii zbiorów. Obiekty stanowiły podstawę ontologiczną systemu, natomiast relacje opisywały ich wzajemne powiązania.

Rozwój współczesnej matematyki ujawnił jednak znacznie bardziej złożony obraz.

2. Kryzys podziału: obiekt i relacja

W teorii kategorii relacja przestaje być wyłącznie relacją.

Morfizm:

f : A → B

nie jest jedynie połączeniem pomiędzy obiektami.

Sam staje się elementem dalszych operacji formalnych. Powstają:

morfizmy,

funktory,

transformacje naturalne,

wyższe kategorie,

morfizmy wyższych rzędów.^1

W konsekwencji klasyczny podział:

Obiekt ↔ Relacja

ulega osłabieniu.

Relacja może zostać potraktowana jako obiekt nowego poziomu organizacyjnego.

3. Teoria alegorii i relacje wielowartościowe

Jeszcze wyraźniej problem ten pojawia się w teorii alegorii rozwijanej przez

Peter Freyd

oraz

Andre Scedrov.^2

Alegoria stanowi uogólnienie teorii kategorii na relacje wielowartościowe.

Nie tylko obiekty i funkcje podlegają formalizacji.

Formalizacji podlegają również same relacje oraz operacje wykonywane na relacjach.

Powstaje możliwość badania:

relacji,

relacji relacji,

relacji pomiędzy systemami relacji.

4. Matematyczna postać autoreferencji

Zjawisko to można interpretować jako formalny odpowiednik autoreferencji.

Każdy poziom organizacji może zostać potraktowany jako obiekt wyższego poziomu.

Schematycznie:

O

R(O)

R(R(O))

R(R(R(O)))

i tak dalej.

Nie istnieje oczywista granica procesu formalizacji.

5. Analogia do trójpodziału władzy

Mechanizm ten przypomina analizowany wcześniej problem trójpodziału władzy.

Klasyczny model wyróżnia:

władzę ustawodawczą,

władzę wykonawczą,

władzę sądowniczą.

Jednak sam akt podziału nie należy do żadnej z tych władz.

Jest zasadą organizującą cały układ.

Powstaje więc czwarta pozycja systemu.

Jeżeli zostanie ona włączona do opisu, pojawia się kolejna zasada organizacyjna.

Powstaje piąta pozycja.

Następnie szósta.

I tak dalej.

Proces ten można interpretować jako polityczny odpowiednik przechodzenia od morfizmów do morfizmów wyższych rzędów.

6. Logodygmat a nieskończoność relacji

W tym miejscu pojawia się zasadniczy problem.

Jeżeli możliwe jest nieskończone przechodzenie:

od relacji

do relacji relacji,

to dlaczego systemy poznawcze, społeczne i komunikacyjne nie rozpadają się na nieskończoną liczbę poziomów?

Dlaczego w praktyce stabilizują się jedynie niektóre konfiguracje?

To pytanie nie jest już pytaniem matematycznym.

Jest pytaniem logodygmatu.

7. Od produkcji relacji do stabilizacji relacji

Matematyka pokazuje możliwość produkcji kolejnych poziomów formalizacji.

Logodygmat pyta natomiast:

Dlaczego pewne poziomy zostają uprzywilejowane?

Nie wystarczy wykazać możliwość istnienia relacji wyższego rzędu.

Należy jeszcze wyjaśnić, dlaczego określona struktura staje się:

poznawczo użyteczna,

komunikacyjnie stabilna,

społecznie reprodukowalna.

Można więc powiedzieć:

Matematyka bada możliwość organizacji relacji.

Logodygmat bada stabilizację organizacji relacji.

8. Autopoiesis struktur formalnych

W tym świetle matematyka ujawnia cechy systemu autopoietycznego.

Nowe struktury nie są wyłącznie odkrywane.

Są generowane przez wcześniej istniejące struktury formalne.

Powstają:

nowe kategorie,

nowe klasy obiektów,

nowe poziomy abstrakcji.

System reprodukuje własne możliwości organizacyjne.

Autopoiesis matematyki polega więc nie na reprodukcji konkretnych obiektów, lecz na reprodukcji przestrzeni możliwych formalizacji.^3

9. Matematyczna krytyka logodygmatu

Komentarz wskazujący na teorię kategorii i alegorii prowadzi do istotnej korekty wcześniejszego tekstu.

Pierwotna wersja mogła sugerować względnie stabilny podział pomiędzy:

obiektami,

relacjami.

Współczesna matematyka pokazuje jednak, że granica ta jest ruchoma.

Obiekty mogą stawać się relacjami.

Relacje mogą stawać się obiektami.

Powstaje dynamiczna struktura przejść pomiędzy poziomami organizacji.

W tym sensie matematyka okazuje się jeszcze bardziej zgodna z intuicją logodygmatu, niż mogło się wydawać.

10. Wnioski

Teoria kategorii, teoria alegorii oraz współczesna matematyka relacyjna nie podważają logodygmatu.

Przeciwnie.

Stanowią jego formalne rozwinięcie.

Pokazują, że nie istnieje ostateczna granica pomiędzy obiektem i relacją.

Możliwe jest nieustanne przechodzenie:

Obiekt→Relacja→Relacja relacji

Jednocześnie matematyka nie odpowiada na pytanie, dlaczego pewne poziomy organizacji zostają ustabilizowane jako istotne.

To właśnie stanowi właściwy problem logodygmatu.

Nie problem produkcji relacji.

Lecz problem stabilizacji relacji wśród nieskończonej liczby możliwych formalizacji.

Przypisy

S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Springer, New York 1998.

P. Freyd, A. Scedrov, Categories, Allegories, North-Holland, Amsterdam 1990.

Por. J. von Neumann, Theory of Self-Reproducing Automata, University of Illinois Press, Urbana 1966; także H. Maturana, F. Varela, Autopoiesis and Cognition, Reidel, Dordrecht 1980.

Bibliografia

Categories for the Working Mathematician.

Categories Allegories.

Theory of Self-Reproducing Automata.

Autopoiesis and Cognition.

The Structure of Scientific Revolutions.

Difference and Repetition.