Transformacja

Transformację najprościej i bardzo ogólnie możemy zdefiniować, jako operację przemiany, przeobrażenia czy też przekształcenia.

W przypadku układów odniesienia celem transformacji jest przenoszenie pomiarów i obserwacji doświadczalnych badanych zjawisk a także koncepcji teoretycznych zapisanych w różnych postaciach z jednego układu odniesienia do drugiego.

Nic bardziej nie przekonuje jak obraz, który jest najlepszą formą przekazu informacji.

Obraz pozwala nam nie tylko rejestrować bieżące zdarzenia, lecz także utrwalać je i zatrzymywać w kadrze. Obraz umożliwia nam też „wzrokowy dotyk myśli”.

Aby łatwiej zobrazować operację transformacji wykonajmy w tym celu model własnego „Poglądowego Interferometru” demonstrującego ruch obiektów-sygnałów w kierunkach wzajemnie prostopadłych.

 W tym celu na mniejszym kartonie grubszego papieru narysujmy kwadrat oraz na przedłużeniu dolnego boku przyległy do jego lewego boku krótszym bokiem prostokąt. Bok dłuższy prostokąta równy połowie długości boku kwadratu zaś boku krótszy równy 1/10 długości boku dłuższego prostokąta. Linia poprowadzona przez dłuższy bok prostokąta i dolny bok kwadratu tworzy oś x natomiast linia poprowadzona przez krótszy bok prostokąta przyległy do lewego boku kwadratu tworzy oś y. Teraz  dolny bok kwadratu leżący na osi x oraz lewy bok kwadratu leżący na osi y podzielmy na 20 równych odcinków. Dłuższy bok prostokąta leżący na osi –x podzielmy na 100 równych odcinków.

Dziesięciu odcinkom skali dłuższego boku prostokąta odpowiada jeden odcinek skali boku dolnego i lewego kwadratu leżących jeden na na osi x drugi na osi y.

Tak przygotowany karton tworzy układ odniesienia O wraz z modelem nieruchomego (spoczywającego) w tym układzie „Poglądowego Interferometru”, którego ramiona pokrywają się z osiami x i y.

Dla wygodniejszego posługiwania się modelem możemy wyciąć po obrysie zewnętrznym figurę kwadratu z przylegającym prostokątem.

Teraz na odpowiednio większym kartonie papieru narysujmy dwie przecinające się linie wzajemnie prostopadłe kolorem czerwonym lub dowolnym innym i oznaczmy je, jako oś x’ i y’. Większy karton stanowi układ odniesienia O’.

Otrzymaliśmy model własnego „Poglądowego Interferometru” wraz z dwoma układami odniesienia O i O’.

Kładziemy karton z interferometrem związany z układem odniesienia O na karton prezentujący układ odniesienia O’ tak, aby osie x i x’ oraz y i y’ pokrywały się wzajemnie.

Ruch jednego układu współrzędnych względem drugiego uzyskujemy przesuwając względem siebie kartony umieszczone jeden na drugim wzdłuż pokrywających się osi x i x’. Ponieważ ruch układów jest względny nie ma znaczenia, który karton będziemy przesuwać a który trzymać nieruchomo.

Dla ułatwienia przebiegu eksperymentu umówmy się, że będziemy w prawo przesuwać układ odniesienia O wraz z nieruchomym względem niego interferometrem po większym kartonie z układem odniesienia O’.

Aby zaprezentować działanie „Poglądowego Interferometru” musimy odwołać się do naszej wyobraźni.

Wyobraźmy sobie, że nasz odpowiednio przygotowany mniejszy karton z układem odniesienia O i interferometrem to platforma w kształcie kwadratu poruszająca się ruchem jednostajnym po placu defilad, który reprezentuje nasz większy karton z układem O’. Na platformie dwóch żołnierzy krokiem defiladowym wychodzi z jednego rogu platformy (x=0 i y=0) każdy z nich idzie wzdłuż boku wzajemnie prostopadłego platformy, czyli wzdłuż osi x i y.

Po odliczeniu dziesiątego kroku, co odpowiada naniesionym 10 odcinkom na kartonie robią błyskawiczny zwrot i idą w stronę przeciwną wracając do punktu wyjścia.

Kroki żołnierzy są miarowe rytmiczne o tej samej długości oznacza to, że na platformie idą ze stałą prędkością „u” każdy w swoim kierunku pokonuje jednostkowy odcinek drogi równy jednemu krokowi w określonym jednostkowym przedziale czasu.

Każde zetknięcie stopy znaczy ślad na platformie, któremu odpowiada odpowiedni ślad na placu defilad.

Wykonajmy teraz własną prezentację używając naszego „Poglądowego Interferometru”.

Startujemy z pozycji, gdy osie x i y układu współrzędnych O, w którym znajduje się model interferometru pokrywają się z osiami x’ i y’ układu odniesienia O’. Teraz przesuńmy w prawo interferometr wraz z układem odniesienia O o określoną ilość kresek podziałki na osi -x. Dla ułatwienia przesuńmy o 5 działek, co oznacza, że gdy żołnierze zrobią pierwszy krok w tym samym jednostkowym czasie platforma przemieści się o docinek drogi równy połowie długości jednostkowej drogi odpowiadającej jednemu krokowi. Platforma porusza się, zatem z prędkością v = u/2.

Zaznaczmy teraz ślad pierwszego kroku każdego z żołnierzy w układzie O’. Następnie postępujmy tak dalej podczas wykonywania kolejny kroków żołnierzy przemieszczając stale w jednym kierunku interferometr o taką samą stałą ilość działek za każdym krokiem aż do wykonania dziesiątego kroku. Kiedy żołnierze podczas dziesiątego kroku zrobią zwrot wracają do miejsca startu interferometr w kolejnych krokach powrotnych przemieszczamy nadal o tą samą ilość działek w tym samym kierunku, co poprzednio. Teraz jednak w każdym kroku znaczymy po dwa ślady w układzie O’ odpowiadającym w układzie O interferometru odpowiednio dla kroku pierwszego pozycji x₉ i x₁₁ oraz y₉ i y₁₁ w następnym kroku x₈ i x₁₂ oraz y₈ i y₁₂ aż do ich powrotu do miejsca startu x₀i x₂₀ oraz y₀ i y₂₀ . Możemy teraz na większym kartonie, –  czyli w układzie odniesienia O’ wykreślić ślady ruchu obu żołnierzy.

Po co w układzie O’ podczas każdego kroku powrotnego znaczymy po dwa ślady?

Zwróćmy uwagę, że krokowi naszego żołnierza odpowiada określony jednostkowy odcinek drogi, który żołnierz pokonuję w jednostkowym czasie, czyli długości kroku i czas, w którym odbywa się ten krok definiujemy bezwymiarowo stąd też otrzymujemy prędkość ruchu żołnierzy na platformie równą jedności u = 1 .

Zamieńmy teraz ruch żołnierza na ruch sygnału świetlnego zakładając, że odcinkiem drogi sygnału odpowiadającym jednemu krokowi będzie odcinek równy długości fali λ sygnału. Załóżmy dodatkowo, że sygnał nasz reprezentuje pojedynczy foton. Czoło fali, czyli foton pokonuje jednostkowy odcinek drogi równy długości fali λ w jednostkowym czasie t = λ/c z prędkością c = 1.

Jednostkową drogę i jednostkowy czas nie należy mylić z wzorcem długości i wzorcem czasu.

Podczas ruchu sygnał świetlny reprezentowany przez pojedynczy foton kreśli w obu układach odniesienia ślad drogi przebytej przez sygnał. Ponieważ używamy miary jednostkowej gdzie c = 1 wówczas identyczny „ślad znaczy czas”.

Różnica polega tylko na tym, że ślad drogi znaczony jest w dwóch kierunkach, dlatego możemy zapisać go w postaci wektorowej, natomiast „ślad czasu” znaczony jest w jednym kierunku, dlatego wystarczy, że zapiszemy go w postaci skalarnej.

Zapis skalarny czasu pozwala nam oś czasu t i t' w każdym układzie przyporządkować zarówno osi x-sów jak i y-ków lub dodatkowo narysować ją pod dowolnym kątem.

Otrzymujemy odpowiedź na wcześniej zadane pytanie, dlaczego w drodze powrotnej kreślimy po dwa ślady, ponieważ w kierunku powrotnym znaczymy oddzielnie ślad drogi i „ślad czasu”. Na odcinku od startu do zwrotu żołnierzy (odbicia sygnału) ślad drogi  pokrywa się ze „śladem czasu”, dlatego znaczymy tylko po jednym punkcie.

Wybierając inną stałą ilość działek, o którą będziemy przemieszczać nasz interferometr możemy transformować ruch żołnierzy – sygnału świetlnego z układu O do układu O’ dla prędkości względnej układów (0,1 – 0,9) prędkości ruchu żołnierzy – sygnału świetlnego.

Dodatkowo w układzie, O’ czyli na większym kartonie możemy nannosić innym kolorem ślad drogi i „ślad czasu” transformowanego sygnału z układu O obliczając ich wartości podczas kolejnych kroków za pomocą transformacji Lorentza i porównać je z wcześniej wykreślonymi.

Możemy także próbować narysować ślady sygnałów wysłanych jednocześnie w obu układach odniesienia symulujących równoczesny ruch sygnałów wysłanych równocześnie przez obu obserwatorów w obu kierunkach, o czym była mowa w notce „STW – jak młode wino”.

Zainteresowanym wykonaniem eksperymentu proponuję podzielić się wynikami i płynącymi z nich wnioskami w dowolnej formie. Czy ostudzą, czy też podgrzeje dyskusję o STW? Zakończyć raczej jej nie zdołają.