39 obserwujących
236 notek
212k odsłon
439 odsłon

Symetrie równań Newtona

Wykop Skomentuj27

Serię notek o podzbiorach Rn, kończę tekstem wychodzącym poza główny temat, choć nawiązuje on do poprzedniego o twierdzeniu Emmy Noether. Trochę więcej w nim fizyki niż matematyki. Mam nadzieję, że fizyki ciekawej…

W poprzednim odcinku zgrubnie poznaliśmy jak twierdzenie Noether łączy symetrie z prawami zachowania. Istnieją jednak przekształcenia, które bez wątpienia są symetriami, a nie mają wiele wspólnego z tym twierdzeniem. A są nimi najbardziej podstawowe symetrie mechaniki klasycznej.

Transformacje Galileusza

Wiemy, że transformacje Galileusza opisują zmianę jednego układu inercjalnego w inny. Można również się  dowiedzieć, że równania Newtona są niezmiennicze względem tych przekształceń. Oznacza to, że rozwiązując równania w każdym takim układzie odniesienia, dostaniemy równoważne wyniki. W tym sensie są to symetrie równań. W odróżnieniu od symetrii stosowanych w twierdzeniu Noether, nie są to przekształcenia przestrzeni na której określono równania Newtona, ale zmiany układu współrzędnych.

Wypiszę postać transformacji dla przypadku, gdy jeden układ porusza się względem drugiego wzdłuż osi X z prędkością u:

x' = x - ut
y' = y
z' = z

Kiedy zróżniczkujemy powyższe wzory po czasie, dowiemy się, jak będą transformować się prędkości:

v'x = vx - u
v'y = vy
v'z = vz

Niezmienniczość równań Newtona względem tych transformacji zapewniona jest przez to, że występuje w nich druga pochodna położenia czyli przyspieszenie. Kiedy zróżniczkujemy powyższy wzór jeszcze raz, dostaniemy a'x=ax. Czyli przyspieszenie we wzorze ma=F nie zależy od u.[1]

Gdyby jednak kogoś korciło potraktować u jako parametr grupy przekształceń twierdzenia Noether, to od razu go uspokajam. Energia kinetyczna nie jest niezmiennicza według tych przekształceń. Co oznacza, że żaden  rozsądny lagranżian nie będzie ich niezmiennikiem, więc założenie twierdzenia nie będzie spełnione.

image

Spotkałem się z próbami „poprawiania” lagranżianu, żeby jednak przekształcenie Galileusza było symetrią w sensie twierdzenia Noether. Ale były to próby albo wybitnie żałośliwe, albo wymagające użycia dość mocnej transformacji czasu, będącej czymś w rodzaju pozostałości po transformacjach Lorentza.

Odwrócenie czasu…

…czyli transformacja t →  -t.

Zanim zaczniemy roztrząsać tę symetrię, zauważmy, że odwrócenie czasu zmienia zwrot prędkości. W wyrażeniu różnicowym (Δq/Δt) musimy zamienić miejscami położenie początkowe i końcowe, co spowoduje zmianę znaku. Jest to zgodne z intuicją „cofania w czasie” poprzez odwrócenie klatek w filmie. Jeśli samochód jechał od lewej krawędzi kadru do prawej, to po odwróceniu kolejności wyświetlania, będzie poruszał się w przeciwną stronę.

image

Ma to swoje konsekwencje w przyjęciu warunków początkowych: Stan początkowy (q0, v0),  po zamianie czasu przetransformuje się do (q0, -v0). Będzie się to też tyczyć prędkości w  reszcie stanów.

Za to dla przyspieszenia zmiany zwrotu nie będzie: w wyrażeniu (Δv/Δt) zamiana kolejności  prędkości zniweluje ich przeciwny zwrot i aa'=a

Wróćmy do symetrii. Jeśli ograniczymy badane siły do takich, co nie zależą od czasu  i prędkości, dostaniemy symetrię w sensie formalnym. Bo w równaniach Newtona:

F = ma

nie wystąpią wielkości, które mogłyby się zmienić przy tym przekształceniu – we wzorze na siłę nie wystąpią zmienione v i t. Można uczciwie powiedzieć, że takie przekształcenie zachowuje postać równania Newtona. Jak jednak zobaczymy poniżej „zachowanie postaci równań” nie jest wcale warunkiem koniecznym zadziałania symetrii.

Powyższe ograniczenie jest dość mocne i nie obejmuje wielu istniejących w przyrodzie sił. A  przecież w wielu miejscach można usłyszeć, że równania Newtona są odwracalne w czasie bez dodatkowych warunków. Więc jak to jest? Trzeba przyjrzeć się trochę dokładniej z czym mamy do czynienia.

Jak działają siły na takie „odwrócone w biegu” ciało? Jeśli  siła przyspieszyła ciało, to po odwróceniu czasu, taka sama siła będzie je zwalniać. I działa to identycznie dla sił zależnych od położenia (np. pole sił elektrycznych), jak również od czasu (np. włączanie i wyłączanie silników odrzutowych).

image

Podobnie wygląda zmiana kierunku pod wpływem siły, co przedstawia poniższy rysunek:

image

Podsumowując: Symetria zmiany kierunku czasu obowiązuje dla wszelkiego rodzaju sił. Nawet wtedy, gdy „postać równań” Newtona nie jest zachowana – to znaczy nie tylko dla sił zależnych od położenia. I tym optymistycznym akcentem można by zakończyć notkę, gdyby nie to, że czasami oglądamy filmy „odwrócone w czasie”  i jednak potrafimy rozpoznać, że są cofnięte. Do wyjaśnienia tej niezgodności używa się argumentów  natury statystycznej, bo na filmach oddziałujących ciał jest zwykle dużo. Mimo to da się odnaleźć rysy na odwracalności w czasie równań newtonowskich, nawet dla pojedynczej cząstki.

Wykop Skomentuj27
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie